Алгоритмический подход в обучении решения математических задач

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Увага! Категорично заборонено використовувати цей матеріал на інших інтернет-порталах і в засобах масової інформації без письмового дозволу автора. Дозволяється, з метою навчання, використовувати елементи розробки з обов'язковим посиланням на дану сторінку.

Летунова сертифікат 191.jpg

Алгоритмический подход в обучении решения математических задач

Автор: Летунова Валентина Петровна, учитель математики Запорожского многопрофильного лицея №99

Любое уравнение или задачу можно решить с помощью алгоритма.

Поэтому преподавание математики должно идти в направлении усиления её алгоритмических подходов, а в конечном счете к выработке у школьников алгоритмического стиля мышления. «Алгоритмизация» состоит в том, что каждый шаг решения записан в отдельной строке. Наиболее важной, интеллектуальной, творческой частью этой деятельности является поиск подходов к решению.


Например. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. Каждое боковое ребро пирамиды длиной l пересекая две стороны основания, образует с ними углы α и β. Найдите объем пирамиды.

Главные цели, которые должны быть достигнуты при рассмотрении геометрических задач, это формирование пространственных представлений, развитие умения логически мыслить, творческое овладение всей совокупностью геометрических знаний. Для достижения этих целей нужно уделить особое внимание поиску пути решения и его обоснованию.

Возвращаясь к задаче, имеем:
а) Каждая боковая грань – равнобедренный треугольник, в котором известны длина боковой стороны и угол при основании; это позволит найти длину основания треугольника.
б) Этим способом мы найдем длину сторон прямоугольника, лежащего в основании, а затем и другие его элементы (например, длину диагонали и площадь).

Летунова1.jpg

в) Диагональное сечение пирамиды – равнобедренный треугольник, и поэтому отрезок SO, соединяющий вершину с центром основания, перпендикулярен диагонали BD прямоугольника.
г) По аналогичной причине SO перпендикулярен и к другой диагонали, т.е. (по теореме о двух перпендикулярах) он является перпендикуляром к плоскости основания.
д) Теперь ясно, что треугольники SOB, SOF, SOK прямоугольные, и с помощью любого из них можно найти высоту (а потом и объем) пирамиды.


Эта последовательность умозаключений – наиболее важное звено в процессе задачи. Последовательность а) – д) описывает поиск пути решения. Для проведения такого поиска учащимся нужны и пространственные представления, и умение применять изученные теоремы, и построение цепочки умозаключений, соединяющей данные и искомое, т.е. все то, чему должен учить курс геометрии.

Кстати, совсем не обязательно каждую стереометрическую задачу доводить «до конца». Можно каждую четвертую задачу записывать с полным решением, а три оставлять на стадии обсуждения пути решения. Это даст экономию учебного времени с существенным углублением знаний, углублением пространственных представлений, приобретением хороших навыков логического мышления. Итак, если вернемся к рассматриваемой задаче, то решение запишется в виде:

Летунова2.jpg

Поиск пути решения в наиболее полном виде соответствует идее внесения элементов алгоритмизации в курсе математики.

Алгоритм – точное предписание, которое задает вычислительный процесс, начинающийся с произвольно исходного данного и направленный на получение полностью определенного этим исходным данным результате. Алгоритмами являются, например, известные из начальной школы правила сложения, вычисление столбиком и деление уголком. В этих алгоритмах возможными результатами служат натуральные числа, записанные в десятичной системе, а возможным исходным значением – упорядоченные пары таких чисел. Например, выполним действия по следующему алгоритму:
Летунова3.jpg



Решая простые задачи можно пользоваться таким алгоритмом решения текстовых задач:
Летунова6.png
Пользуясь этим алгоритмом, попробуйте решить задачу: «В школьную столовую привезли 115 рожков, 68 пирожков, а булочек столько, сколько рожков и пирожков вместе. Сколько выпечки привезли в столовую? На сколько рожков меньше, чем булочек и пирожков?»


Решать сложные задачи учащиеся начинают при условии, если они научились расчленять любую задачу на более простые, сводящиеся к одному действию. Покажем на конкретной задаче, как осуществляется переход от планирования к алгоритмизации задачи, исключив вопросно – ответную форму.
Задача. Теплоход шел по течению 2,5 ч., а против течения 3,2 ч. Какой общий путь прошел теплоход, если его собственная скорость 22 км/ч, а скорость течения 3 км/ч?
Решение распадается на ряд простых задач.

  • Найдем общий путь S как сумму по течению и пути против течения;
  • Путь по течению S1 равен произведению величины скорости движения по течению на величину времени движения;
  • Скорость по течению V1 складывается из собственно скорости теплохода и скорости течения;
  • Путь против течения S2 равен произведению величины скорости движения против течения V2 на величину времени движения;
  • Скорость против течения V2 определяется как разность собственной скорости теплохода и скорости течения.

Задачу можно записать и в таком виде:

  1. V1 = 22+3
  2. S1 = V1 ˑ 2.5
  3. V2 = 22-3
  4. S2 = v2ˑ3.2
  5. S = S1 + S2

или S = (22 - 3) ˑ 3.2 + (22 + 3) ˑ 2.5



В базовых учебниках по математике для 6 – 9 классов мало внимания уделяется такой теме как «Модуль». Это одна из наиболее преемственных и сложных тем. Несмотря на то, что в учебниках, практически, нет заданий по этой теме, в тестовых экзаменационных заданиях предлагаются задачи на построение графиков, содержащих переменную под знаком модуля, а также решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. В данной работе приводится ряд тем, в которых используется данная тема и ряд заданий, с решением по этой теме. Здесь же приведем алгоритм, по которому решаются все задачи с модулем.


Тема «Модуль числа». Все уравнения, предлагаемые в 6 классе, решаются по определению модуля. Это определение дает учащимся представление о том, что необходимо делать в каждом конкретном случае: сменить знак или оставить подмодульное выражение без изменения. Перед решением уравнений необходимо с учащимися отработать четкую графическую интерпретацию решения уравнения типа | x | = b, b>0

  1. Найти корень подмодульного выражения x = 0.
  2. Отметить корень уравнения на числовой прямой.
  3. От корня переместиться вправо и влево на b единиц.

Летунова4.jpg

Записать решение данного уравнения.
Уравнение вида |x +α| = b решается по аналогии:

x +α = 0
x = -α

Летунова5.jpg

Ответ: { x1; x2}

После этого можно переходить к аналитическому решению уравнений.

---

Построение графика линейной функции, содержащих переменную под знаком модуля.

Начиная изучать данную тему уместно вспомнить определение модуля и графическую интерпритацию.


Начиная с седьмого класса все задания с модулем можно решать по следующему алгоритму:
Алгоритм.

  • Подмодульное выражение (каждое) приравниваем к нулю и находим корни подмодульного выражения (для функции эти точки называют «точками излома функции»).
  • Отмечаем точки на координатной прямой и разбираем на промежутки.
  • Раскрываем модуль, с учетом знака подмодульного выражения на данном промежутке (Для этого (устно) берем число из данного промежутка и подставляем его в подмодульное выражение: если знак выражения «+», то знак модуля опускаем, если знак выражения «-», то знак подмодульного выражения меняем на противоположный).
  • Упрощаем.
  • Анализируем полученные решения (проверяем принадлежность решения к данному числовому промежутку). Если неравенство верно, то решение является корнем уравнения, если неверно- посторонний корень.
  • Записываем ответ.
Построение графиков с модулем следует начинать с функции y = | x | и рассмотреть различные преобразования функции: y =± k | x | ; y = | x ± α |; y = | x | ± b; y = k | x ± α | ± b.


Особенностью построения графиков таких функций заключается в том, что необходимо построить часть графика на конкретном промежутке, учитывая точки излома функции.

Даже для алгебраических уравнений нет единого метода решения. Еще сложнее состоит дело с тригонометрическими уравнениями. Рассматривая наиболее часто встречающиеся тригонометрические уравнения можно прийти к наиболее типичным решению уравнений вида cos x = α; sin x = b; tg x = c, т.е. создать алгоритм их решения.

Например, уравнения, решаемые способом подстановки, можно решить по такому алгоритму:
  1. Вводим замену;
  2. Решаем квадратные уравнения (находим корни);
  3. Возвращаемся к замене ( для sin x,cos x проверяем условия | sin x |≤1; | cos x | ≤1 );
  4. Находим корни тригонометрического уравнения.

Тригонометрические уравнения решаемые с помощью разложения на множители решаются по алгоритму:

  1. Левую часть преобразовать в произведение (применить формулы приведения; вынести за скобки общий множитель);
  2. Приравнять каждый множитель к нулю;
  3. Найти корни уравнения.

Существует алгоритм и для решения однородных уравнений. Но чтобы решить такое уравнение нужно убедиться, что оно является таковым. Для того, чтобы уравнение являлось однородным, нужно чтобы выполнялись такие условия:

а) правая часть должна быть равной нулю;
б) левая часть, многочлен, в каждом члене которого сумма показателей степеней синуса и косинуса одинаковы;
в) синус и косинус должны быть одного и того же аргумента.


Чтобы решить такое уравнение нужно:

  1. Разделить правую и левую часть на cos x ≠ 0 ( sin x ≠0) предварительно (устно) проверив, что cos x ≠ 0.
  2. Ввести замену.
  3. Возвратиться к замене.
  4. Найти корни квадратного уравнения.


Итак, чтобы научиться решать геометрические задачи, решать уравнения и строить графики функций, учащийся прежде всего должен накопить определенные знания (запомнить основные соотношения, формулы), из которых затем будут выбирать те, которые нужны для решения данной конкретной задачи.
Под алгоритмической деятельностью мы понимаем все виды деятельности, направленные на решение задач с помощью правил, предписаний, алгоритмов. Она охватывает не только формальное выполнение указанных алгоритмов и предписаний, но и выбор алгоритма для решения данной конкретной задачи, последовательности шагов, приводящих к решению задачи, формулировку алгоритмического предписания, а также приспособление известного алгоритма к условиям задачи. Таким образом, алгоритмическая деятельность является важной составной частью математического образования.
Разумеется, нет и не может быть полного перечня алгоритмов, которые должны знать учащиеся. В каждом конкретном случае объем алгоритмических сведений может быть больше или меньше.

Мышление учащегося развивается на основе усвоенных знаний, и если нет последних, то и нет основы для развития мышления. Подводя итог можно сказать словами Р. Декарта «Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил в последствии для решения других задач».

Литература
  1. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.П., Владіміров В.М. Геометрія: Підручник для 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профільний рівень. – К.: Генеза, 2011.
  2. Дружинин В.Н, Психология общих способностей.-СПб.:Питер,1999.
  3. Епишева О.Б.,Крупич В.И.Учить школьников учиться математике.-М.:Просвещение,1999.
  4. Крутецкий В.А.Психология математических способностей школьников.-М.:Просвещение,1968.
  5. Мерзляк А.Г. та ін.. Алгебра. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання. – Харків, «Гімназія», 2008 р
  6. Пометун О.,Пироженко Л. Сучасний урок. Інтерактивні технології навчання. Київ,"А.С.К,",2005.
  7. Cелевко Г.К.Современные образовательные технологии-М.:Народное образование, 2004.
  8. Холодная М. А.Психология интеллекта. СПб., 2002.