Застосування методу поступового ускладнення задач у викладанні теми «Інтеграл та його застосування

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск
Беляєва.jpg
Беляєва Аліна Михайлівна
вчитель математики КЗ "Мелітопольська спеціалізована школа-інтернат III ступеня "Творчість" ЗОР

Озброєння учнів методами та способами розв’язування задач, навчання учнів самостійному їх пошуку та вибору найбільш раціонального є однією із найважливіших проблем. Математичні задачі, крім навчаючих, виконують розвиваючі, виховні, контролюючі та корегуючі функції. Відповідно корисний ефект при розв’язуванні задач в значній мірі визначається вибором методу чи способу розв’язання.

При розв’язанні математичної задачі учень повинен пізнавати нове, знайомитися з новими ситуаціями, які описані в задачі, пізнавати новий метод або спосіб розв’язування, нові теоретичні основи, які лежать в основі розв’язання. Максимальний ефект у навчанні розв’язуванню задач досягається тоді, коли вчитель не повідомляє учням готовий алгоритм чи правило-орієнтир, а організовує самостійний або колективний пошук шляху і методу розв’язання. Але для реалізації такого підходу і вчитель, і учні повинні бути озброєні системою основних методів, способів і прийомів розв’язування задач.

Об’єктом розгляду у даній роботі виступає процес навчання алгебри і початків аналізу у сучасній школі, предметом – метод поступового ускладнення задач при вивчення курсу алгебри і початків аналізу.
Мета роботи – проаналізувати вплив використання методу поступового ускладнення задач на рівень засвоєння математичних знань старшокласниками, запропонувати ефективний шлях використання методу поступового ускладнення задач під час навчання алгебри і початків аналізу.

Завдання дослідження:

  • проаналізувати психолого-педагогічну і методичну літературу з теми дослідження;
  • проаналізувати сучасний стан проблеми навчання розв’язування задач старшокласників;
  • підібрати завдання, вправи, задачі для реалізації методу поступового ускладнення;
  • експериментально перевірити ефективність методичного підходу, виявити зв'язок між використанням методу поступового ускладнення задач і успішним вивчення математики старшокласниками.

Методи дослідження:

  • аналіз математичної, методичної, психолого-педагогічної літератури;
  • відбір і систематизація методичної літератури;
  • співставлення шкільної програми і підручників з алгебри та початків аналізу та поурочного планування;
  • вивчення досвіду провідних педагогів;
  • спостереження за використанням запропонованого методичного підходу.
Методична новизна даної роботи – підбір завдань з алгебри і початків аналізу для навчання старшокласників використовуючи метод поступового ускладнення. Практична значущість – відібрані завдання стануть допоміжним матеріалом для підвищення рівня засвоєння старшокласниками математичних знань в сучасній школі. Проведений теоретичний аналіз проблеми дослідження і результат експерименту дозволив сформулювати гіпотезу: підготовані завдання з алгебри і початків аналізу та подання цих завдань згідно методу поступового ускладнення задач підвищать рівень засвоєння математичних знань учнів старшої школи.
Методи навчання розв’язування задач

Процес навчання математики, зокрема алгебри, досить часто протікає за схемою: задача – теорія – задача. Задачі в шкільному курсі алгебри є і предметом і засобом навчання. Тому на сучасному етапі розвитку алгебри питання про методи розв’язування задач, їх обґрунтування та систематизація є актуальними. На сьогодні навчання учнів методам доведення теорем, методам та способам розв’язування задач є найважливішим завданням математики в школі [11]. В історії розвитку загальноосвітньої школи значний внесок у розвиток методів і методики навчання учнів методам та способам розв’язування задач зробили класики світової математики: Декарт Р., Лейбніц Г., Пойа Д., російські та українські вчені: Бевз Г.П., Дорофеєв Т.В., Колягін Ю.М., Кушнір І.А., Славська К.А., Слєпкань З.І., Фрідман Л.М., Ядренко М.Й., та вчителі-практики: Кушнір І.А., Хазанкін В.Г. та ін. На думку Г.П.Бевза [4], вчитель повинен учити учнів розв’язувати задачі. Робити це можна за допомогою різних методів. Для типових задач найефективнішим є метод поступового ускладнення, для нетипових – метод евристичних наставлянь.


  • Метод поступового ускладнення задач

Задачі нового типу природно починати розв’язувати з найпростіших, доступних учням. Якщо майже на кожному уроці усно розв’язувати 10 – 15 таких задач, можна досягнути гарних результатів. Поступово складність пропонованих задач має підвищуватися, але таким чином, щоб труднощі, які виникають у процесі їх розв’язування, могли долати і слабкі учні. Не слід непокоїтися тим, що надлегкі задачі уповільнять розвиток більш підготованих учнів. Адже йдеться про 5 – 7 хвилин деяких уроків. Решту часу можна відвести складнішим задачам. Навіть для найсильніших учнів усне розв’язування задач корисне, воно сприяє розвиткові швидкості та гнучкості мислення, вдосконалює вміння обчислювати і встановлювати функціональні залежності. Якщо учням пропонувати багато найпростіших задач, які вимагають виявляти найпростіші залежності, через певний час вони й порівняно складніші задачі розв’язуватимуть швидше та впевненіше. Метод поступового ускладнення задач цінний тим, що дає змогу навчати всіх, а не лише найсильніших та найздібніших. Прості і не дуже складні задачі можуть (і повинні) розв’язувати всі. А коли всі учні беруть активну участь у розв’язуванні запропонованих задач, тоді й урок проходить жваво, цікаво. Наскільки швидко мають ускладнюватися завдання, залежить від підготовленості учнів. Часто навчання за допомогою методу поступового ускладнення задач дещо ускладнюється тому, що у підручниках і навчальних посібниках мало простих і не дуже складних задач. Але вчитель може самостійно складати їх у достатній кількості.

  • Метод евристичних наставлянь

Коли учні затрудняються скласти план розв’язування задачі або не знають, як подолати труднощі, що виникли в процесі її розв’язування, їм, звичайно підказують. Роблять це у формі наставлянь або за допомогою навідних питань. Метод навчання розв’язування задач за допомогою навідних питань або наставлянь називають методом евристичних наставлянь. Найбільш повно цей метод опрацював Д.Поай, у своїй праці він всю систему навідних запитань і наставлянь подав у вигляді таблиці, яка містить чотири рубрики: розуміння постановки задачі, складання плану розв’язування, здійснення плану, погляд назад. Мета звернення до учнів у процесі розв’язування задач з такими запитаннями і наставляннями подвійна: перша – допомогти учневі розв’язати саме дану задачу; друга – настільки розвинути здібності учня, щоб у майбутньому він зміг розв’язувати задачі самостійно. Багато вчителів метод евристичних наставлянь доповнюють прийомами опорних задач. У кожному розділі вони виділяють кілька опорних задач, на які пізніше можна буде опертися, їх розв’язують з детальними роз’ясненнями та обґрунтуванням. Методи їх розв’язування згодом використовуються при розв’язуванні інших задач. Добре узгоджується з методом евристичних наставлянь і прийом продовження задачі, коли після розв’язування певної задачі її видозмінюють, розглядають узагальнення або окремі випадки. В результаті за 5 – 7 хвилин іноді встигають розв’язати задачу, яку за інших обставин доводилося б розв’язувати більше 20 хвилин. У більшості методичних робіт, присвячених навчання розв’язування задач, розглядаються майже виключно нестандарті задачі, нерідко – підвищеної складності. Про типові задачі чимало авторів висловлюються зневажливо, Ю.Колягін вважає, що їх не можна навіть зараховувати до задач. В результаті типові задачі опинилися поза інтересами методистів як такі, що не заслуговують уваги. Хоча саме на них слід насамперед звертати увагу. Вони – базис, без уміння розв’язувати типові задачі не можна навчитися розв’язувати і нешаблонні. А досвід показав, що багато учнів не вміють розв’язувати навіть типові задачі, передбаченні шкільною програмо. Нагальні потреби сучасної школи зобов’язують у першу чергу розробити методику навчання розв’язування типових задач. Перш ніж удосконалювати надбудову, потрібно подбати про міцне підґрунтя. Підсумовуючи, вважаємо, що саме раціонально підібрані методи навчання розв’язування задач виконують не тільки навчальну функцію, а й розвивальну та виховуючу. Майстерність вчителя у навчанні учнів розв’язуванню задач загалом визначає не тільки успішність старшокласників, а й комфорт у співіснуванні всіх учасників навчального процесу.

РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ ПОСТУПОВОГО УСКЛАДНЕННЯ ЗАДАЧ У ВИВЧЕННІ АЛГЕБРИ І ПОЧАТКІВ АНАЛІЗУ

Експеримент було проведено в Мелітопольській спеціалізованій школі-інтернат «Творчість» . Для дослідження обрано експериментальну групу учнів одинадцятого класу. Педагогічний експеримент складається з двох частин: констатувальний і формувальний.

Констатувальний експеримент

На початку дослідження проводився констатувальний експеримент. Перед початком вивчення тем розділу «Інтеграл і його застосування» ми проаналізували результати тематичного оцінювання з розділу «Похідна і її застосування» для виявлення кількості розв’язуваних задач учнями самостійно.

Результати тематичного оцінювання з розділу «Похідна і її застосування» представимо у вигляді кількості розв’язаних учнями завдань в таблиці 1. Таблица1.png

А кількість розв’язаних задач кожним учнем самостійно можна відобразити за допомогою діаграми (Рис. 1).

Ди11.png

Рис.1. Кількість розв’язаних завдань кожним учнем самостійно під час констатувального експерименту [складено автором]


Формувальний експеримент
Гіпотеза дослідження: підготовані завдання з алгебри і початків аналізу підвищать рівень засвоєння математичних знань учнів старшої школи та вплинуть на успішність вивчення тем з курсу алгебри і початків аналізу.
Мета експерименту: практично дослідити вплив використання методу поступового ускладнення задач на рівень засвоєння математичних знань старшокласниками, запропонувати ефективний шлях використання методу поступового ускладнення задач під час вивчення алгебри і початків аналізу.

Протягом вивчення розділу «Інтеграл і його застосування» на уроках алгебри та початків аналізу учні відвідували заняття, на яких використовувалися завдання, які складено відповідно методу поступового ускладнення задач.

Застосування методу поступового ускладнення задач проходить в рамках уроку, як основної форми навчання і в рамках програмного матеріалу. В ході експерименту було виявлено, що в якості засобу підвищення успішності учнів використовуються спеціально підготовані завдання. До кожної теми розділу «Інтеграл і його застосування» відводиться конкретна серія завдань, яка в свою чергу містить набір завдань, які відображають властивості, які необхідні для вивчення предметного матеріалу. Завдання складаються з урахуванням цілей уроку. Завдання ускладнюються поступово від усного виконання до письмового виконання у декілька кроків.

Уроки було організовано таким чином, щоб завдання з поступовим ускладненням не були лише фрагментом уроку, а так щоб метод поступового ускладнення простежувався від початку до кінця заняття.

Наведемо приклад комплексу завдань до тем розділу «Інтеграл і його застосування», які відповідають правилам методу поступового ускладнення. Завдання, які допоможуть учням у вивченні таблиці, правил знаходження, властивостей первісних, невизначеного інтегралу, визначеного інтегралу та їх застосування.

Приклад 1. Знайти первісну для функції f (завдання для функцій xn і 1/x): Fdd.png

Рис.2. Схема відображення рівня складності завдання знаходження первісної функції (завдання для функцій xn і 1/x) [складено автором]
За допомогою схеми можемо побачити, що запропоновані завдання відповідають методу поступового ускладнення, тобто йдуть від найпростішого (можливе усне виконання) до складнішого (декілька дій, письмове виконання).
Приклад 2. Знайдіть невизначені інтеграли:

Primer2.png

Рис. 3. Ускладнення завдань прикладу 2. [складено автором]
Приклад 3. Обчисліть визначені інтеграли.
Primer3.png
Рис. 4. Схема кроків ускладнення прикладу 3. [складено автором]
У вивченні теми «Застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур» головним є навчити учнів правильно будувати фігури, які задано і правильно визначати область, площу якої необхідно знайти.
Приклад 4. Запишіть площу заштрихованих фігур як суму або різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графі¬ками відомих функцій

thumb:120. Primer 4 4.png Primer 4 6.png Primer 4 2.png Primer 4 1.png Primer4 3.png


В кінці дослідження (вивчення розділу «Інтеграл і його застосування») проводився контрольний етап формувального експерименту. Кожен учень експериментального класу в процесі навчання повинен був досягти певного прогресу. Для перевірки ефективності використання завдань, які складено відповідно методу поступового ускладнення задач, а саме на уроках алгебри та початків аналізу в одинадцятому класі була проведена контрольна робота, яка містила у собі 10 завдань. У Додатку 1 приведені два варіанти цієї роботи.

Результати контрольної роботи представимо у вигляді кількості розв’язаних учнями завдань в таблиці 3.

Tabl3.png
Таблиця 3

Розподіл самостійності виконаних завдань при вивченні розділу «Інтеграл і його застосування» [складено автором]

А кількість розв’язаних задач кожним учнем самостійно можна відобразити за допомогою діаграми (Рис.5).

Di2.png

Рис.5. Розподіл самостійно виконаних завдань при вивченні розділу «Інтеграл і його застосування» [складено автором]
Після проведення контрольної роботи можна порівняти результати робіт, а саме кількості розв’язаних задач кожним учнем самостійно без використання завдань, які складено відповідно методу поступового ускладнення на уроках та з їх використанням. Для наочності продемонструємо ці результати на діаграмі (Рис.6).

Di3.png

Рис.6. Порівняння результатів констатувального і формувального експериментів [складено автором]
Проаналізувавши подані вище данні можна констатувати, що самостійність учнів експериментальної групи візуально підвищилася після експерименту. Аналіз даних дозволяє зробити такий висновок, що в середньому кількість розв’язаних завдань групою в цілому підвищилася на два завдання.

додаток 1

додаток2

ВИСНОВКИ

Задачі відіграють важливу роль у навчанні математиці та розвитку пізнавальних здібностей учнів. Раціонально підібрані методи навчання розв’язування задач виконують не тільки навчальну функцію, а й розвивальну та виховуючу. Майстерність вчителя у навчанні учнів розв’язуванню задач загалом визначає не тільки успішність старшокласників, а й комфорт у співіснуванні всіх учасників навчального процесу. Методи навчання учнів розв’язувати математичні задачі описав Г.П.Бевз та широко застосовується вчителями-предметниками. Найбільш поширений метод поступового ускладнення задач. Але в арсеналі вчителів є недостатня кількість задач для реалізації цього методу. Підручники з алгебри і початків аналізу містять обмежену кількість завдань, тому є нагальна потреба в розробці та відбору завдань для реалізації цього методу навчання. Запропоновані приклади завдань мають поступово збільшувану складність та забезпечують підвищення рівня засвоєння математичних знань. У більшості методичних робіт, присвячених навчання розв’язування задач, розглядаються майже виключно нестандарті задачі, нерідко – підвищеної складності. Про типові задачі чимало авторів висловлюються зневажливо, Ю.Колягін вважає, що їх не можна навіть зараховувати до задач. В результаті типові задачі опинилися поза інтересами методистів як такі, що не заслуговують уваги. Хоча саме на них слід насамперед звертати увагу. Вони – базис, без уміння розв’язувати типові задачі не можна навчитися розв’язувати і нешаблонні. А досвід показав, що багато учнів не вміють розв’язувати навіть типові задачі, передбаченні шкільною програмо. Нагальні потреби сучасної школи зобов’язують у першу чергу розробити методику навчання розв’язування типових задач. Перш ніж удосконалювати надбудову, потрібно подбати про міцне підґрунтя. Саме тому метод поступового ускладнення задач цінний тим, що дає змогу навчати всіх, а не лише найсильніших та найздібніших. Прості і не дуже складні задачі можуть (і повинні) розв’язувати всі. А коли всі учні беруть активну участь у розв’язуванні запропонованих задач, тоді й урок проходить жваво, цікаво. За результатами педагогічного експерименту виявлено та доведено за допомогою статистичних розрахунків, що використання завдань, які складено відповідно методу поступового ускладнення сприяє підвищенню результатів успішного вивчення тем з алгебри і початків аналізу, в чому і полягає значимість дослідження.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
  1. . Алексеев В., Бородин П., Галкин В., Панферов В., Сергеев И., Тарасов В. Разные стандартные и нестандартные задачи // Математика, 2002. _ №36. - С. 24-27.
  2. . Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе / Ю.К. Бабанский – М.: Просвещение, 1985. –207 с.
  3. . Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990.
  4. . Бевз Г.П. Методика навчання математики . Київ: «Генеза», 2010. – 117 с.
  5. . Бескин, Н.М. Роль задач в преподавании математики // Математика в школе.– 1992.- № 4-5.– С. 3 – 4.
  6. . Болтянский, В.Г., Груденов, Я. И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе.– 1988.- №1.– С. 8 – 14.
  7. . Волкова Н.П. Педагогіка: Посібник -К.: Академія, 2002
  8. . Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач. – М.: «Академия», 2002.– 288с.
  9. . Ершова А.П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов/ А.П.Ершова, В.В. Голобородько– Х.: Лицей Терра-Букс, 2008. – 176 с.
  10. . Ефремов В.П., Ефремова Л.И. Нестандартные задачи на уроках и после // Математика, 2003. _ №7. - С. 56-58.
  11. . Задачи письменного экзамена по математике за курс ср. школы: условия и решения. Вып I / Д.И.Аверьянов и др. - М.: «Школа - Пресс», 1993. - 128 с.
  12. . Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для 10-11 классов сред.шк. / Б.М.Ивлев и др. - М.: Просвещение, 1993. - 46 с.