Конспект уроку з геометрії в 10 класі з поглибленим вивченням математики з теми «Тригранний кут. Теорема косинусів для тригранного кута.»

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Увага! Категорично заборонено використовувати цей матеріал на інших інтернет-порталах і в засобах масової інформації без письмового дозволу автора. Дозволяється, з метою навчання, використовувати елементи розробки з обов'язковим посиланням на дану сторінку.

Сертификат Іванко216.jpg


Конспект урока по геометрии в 10 классе с углубленным изучением математики.

На уроке математики

Автор: Иванко Татьяна Ивановна, специалист высшей категории, учитель-методист Запорожского многопрофильного лицея №99 Запорожского городского совета Запорожской области.

Тема: «Трехгранный угол. Теорема косинусов для трехгранного угла».

Цель урока. Усвоить понятие трехгранного угла, теорему косинусов для трехгранного угла. Формировать приемы существенных связей, учить искать идею доказательства. Развивать пространственное воображение, умения рационального заучивания материала (выделение главного, связей, отношений). Воспитывать потребность в самосовершенствовании, стремление к самопознанию. Показать связь геометрии с жизнью.

Оборудование. Стереометрический ящик. Модели многогранников.

Тип урока. Усвоение новых знаний .


Ход урока


I.Проверка домашнего задания в тетрадях осуществляется консультантами до начала урока.


II.Актуализация опорных знаний.

Повторяем известные нам понятия, которые необходимы для изучения сегодняшней темы:

1. Определение двугранного угла, его граней, ребра.

2. Определение плоского выпуклого угла.

3. Определение линейного угла двугранного угла.

4. Независимость меры двугранного угла от выбора линейного угла (все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны).

5. Теорема о трех косинусах.

6. Теорема косинусов для треугольника.


III.Мотивация учебной деятельности.

Трехгранные, четырехгранные, многогранные углы так же, как и двугранные, являются элементами многих стереометрических фигур. Их можно наблюдать в окружающем мире (в комнате: трехгранный угол, например, имеющий в качестве граней соседние стены и потолок; трехгранный угол имеют шкафы, ящики, телевизоры, холодильники и т. п.); многогранные углы известны были еще в древности (при вершине Египетских пирамид - четырехгранный угол; при основаниях - трехгранные углы); многогранные углы содержат все монокристаллы (например, монокристалл поваренной соли содержит двугранные и трехгранные углы, так же, как и монокристаллы кремния и алмаза, известные из курса физики и химии, состоящие из элементарных кристаллических ячеек, которые имеют форму тетраэдра). Знание вида многогранных углов и свойств кристаллов важно, например, в металлургии, полупроводников производстве, в ювелирном деле при огранке драгоценных камней и т. д.


IV.Усвоение новых знаний.


4.1.Сообщается тема урока и дидактическая цель.


4.2. Рассмотрим простейшие из многогранных углов - трехгранные углы.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгранный угол можно так.

Рис.1

Возьмем любые три луча a, в, с, имеющие общее начало т.О и не лежащие в одной плоскости ( см. рис.1). Эти лучи являются сторонами трёх выпуклых плоских углов: угла α со сторонами в, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а, в.

Объединение этих трёх углов α, β, γ называется трёхгранным углам Оавс (или, короче, трёхгранным углом О).

На партах стоят модели стереометрических фигур. Учащиеся находят многогранные углы и показывают их друг другу, учителю).

Лучи а, в, с называются рёбрами трёхгранного угла Оавс ; плоские углы α, β, γ - гранями , а т. О - вершиной Оавс.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соответствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трёхгранного угла, а грани которого содержат прилежащие к этому ребру грани трёхгранного угла.

Величины двугранных углов трёхгранного угла Оавс при рёбрах а, в,с будем соответственно обозначать а, в, с.

Три грани α, β, γ трёхгранного угла Оавс и три его двугранных угла при рёбрах а, в, с а также величины α, β, γ и а, в, с назовём элементами трёхгранного угла.


4.3.Наша задача: выразить одни элементы трёхгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трёхгранных углов.

Рис.2

Начнем с вывода теоремы косинусов.

Рассмотрим такой трёхгранный угол, у которого хотя бы две грани, например α и β, являются острыми углами (см. рис.2). Возьмем на его ребре с точку С и построим двугранный угол с вершиной в т.С (проведем из т.С в гранях α и β перпендикуляры СВ и СА к ребру с до пересечения с рёбрами а и в в т.А и т.В)

Теорема косинусов для трёхгранного угла:

cos γ = cos α · cos β + sin α · sin β · cos c


Доказательство.

Рассмотрим ∆АВС. По теореме косинусов:

AB² = AC² + BC²- 2AC · BC·соs с. (1)

Рассмотрим ∆АВО. По теореме косинусов:

AB² = AO² + BO² - 2АО · ВО·соs γ. (2)

Приравнивая (1) и (2), получим:

AC² + BC² - 2АС · ВС · соs с = AO ²+ BO² - 2АО · ВО · соs γ. (3)

Выразим из (3) соs γ:

соs γ = (AO² + BO² - AC² - BC² + AC·BC·cos c)÷(2OA·OB). (4)

Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников АОС и ВОС и соответственно получим:

AO² - OC² = OC²;

BO² - BC² = OC².

Подставим полученные равенства в (4) и преобразуем его:

cos γ = (OC÷OA)·(OC÷OB) + (AC÷OA)·(BC÷OB)·cos c. (5)

Так как OC÷OA = cosβ, OC÷OB = cos α, AC÷OA = sin β , BC÷OB = sin α, то (5) можно представить в виде:

cos γ = cos α · cos β + sin α · sin β · cos c. (6)

Теорема доказана.

В случае, если двугранный угол c прямой, то соs с = 0 и из (6) получим:

cos γ = cos α · cos β. (7)

Равенство (7) является теоремой Пифагора для трёхгранного угла («прямоугольного»). Иначе это равенство называется теоремой о трёх косинусах.


4.4 Самостоятельное «открытие» (формулировки) теоремы (Сумма всех плоских углов многогранного угла < 360° ).

С этой целью учитель демонстрирует опыт: модель трёхгранного угла изменяется так, что плоские углы то увеличиваются, то уменьшаются (все одновременно).

Ученики проверяют справедливость утверждения на моделях четырёх- и пятигранных углов и делают общие для n - гранного угла.

V. Решение несложных задач (устно и письменно) на применение теоретических знаний, полученных на уроке.


Задача № 1.

Докажите, что если плоские углы трёхгранного угла прямые, то и его двугранные углы тоже прямые.

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов для трёхгранного угла:

cos γ = cos α · cos β + sin α · sin β · cos c. (*)

Так как по условию задачи α = β = γ = 90°, то соs α = соs β = соs γ = 0, а sin α = sin β = 1.

Подставив эти значения в (*), получим

0 = 0 · 0 + 1 · 1 · соs с.

Отсюда следует, что соs с = 0 , т. е. угол с = 90°. Анaлогично двугранные углы α и β также прямые, что и требовалось доказать.


Задача № 2.

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат со стороной а, если сумма углов между диагональю параллелепипеда и ребром при основании и между диагональю параллелепипеда и диагональю основания, имеющих общую вершину, равна 135°.

Рис.3

Решение.

Объём АВСDA1B1C1D1 равен V = SABCD · H, т. е. V = SABCD · ВВ1(см.рис.3). Угол АDB равен 45°, так как BD – диагональ квадрата ABCD.

Пусть угол B1DВ = х°, тогда угол B1DA = 135° - х°.

Двугранный угол между плоскостями основания и диагонального сечения равен 90°. По теореме косинусов для трёхгранного угла:

cos B1DA = cos ADB · cos B1DB + sin B1DB · cos 90°, или

cos (135° - x) = cos 45° · cos x;

cos 135° · cos x + sin 135° · sin x = cos 45° · cos x;

2·cos x - sin x = 0.

сos x ≠ 0 по условию, следовательно, обе части последнего уравнения можно поделить на сos x. Получим

2 – tg x = 0; tg x = 2.

Из ∆ АВD по теореме Пифагора найдём BD:

BD = a · √2.

Из ∆ВB1D: ВB1 = BD · tg x;

ВB1 = a · √2 · 2 = 2a√2.

Тогда искомый объём параллелепипеда равен

V = a · a · 2a√2 = 2a³√2(ед³).

Ответ: V = a · a · 2a√2 = 2a³√2(ед³).


VI.Итог урока.

Ознакомились с новыми понятиями – «трёхгранный угол», «многогранный угол», доказали теорему косинусов для трёхгранного угла, научились применять полученные знания при решении задач, интуитивно сформулировали утверждение теоремы о сумме плоских углов многогранного угла.

Для закрепления знаний учащиеся ещё раз формулируют понятие трёхгранного угла, показывают на модели многогранника элементы трёхгранного угла, формулируют и записывают теорему косинусов для плоского угла α трёхгранного угла:

cos α = cos β · cos γ + sin β · sin γ · cos a.


Домашнее задание.

1) Бевз Г.П. и др.Геометрія для 10 класу. Повторить основные определения по теме: «Многогранные углы»;

2) Александров А. Д. и др. Геометрия для 10 – 11 классов. Выучить теорию: Дополнение к п. 14. Трёхгранные углы (с. 130 - 131);

I группа ( средний и достаточный уровень): вывести аналогичную формулу для соs β:

cos β = cos α · cos γ + sin α · sin γ · cos b;

№№ 14.58(а), 14.60;

IІ группа (высокий уровень): рассмотреть случай, когда обе грани α и β - тупые углы (с. 132);

№№ 14.62, 14. 66.


Литература.

1.Геометрія. 10 клас. Підручник. Поглиблений рівень. Г.П.Бевз, В.Г.бевз, Н.Г.Владімірова, В.М.Владіміров - Видавництво «Ґенеза», 2010,-232 с.

2.Геометрия. 10-11 классы. Методические рекомендации. Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.-М.: Просвещение, 2013,-144 с.

3.Александров А. Д. и др. Геометрия: Учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Д. Александров, A. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1998,— 271 е.: ил.