Конспект уроку з геометрії в 11 класі "Декартові координати у просторі. Розв’язування задач."

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Увага! Категорично заборонено використовувати цей матеріал на інших інтернет-порталах і в засобах масової інформації без письмового дозволу автора. Дозволяється, з метою навчання, використовувати елементи розробки з обов'язковим посиланням на дану сторінку.

Пересипкіна.jpg

Содержание

Конспект уроку з геометрії для учнів 11 класу

вчителя математики ДНЗ «Михайлівське ВПУ» Запорізької області Пересипкіної Олени Валентинівни

Тема уроку. Декартові координати у просторі. Розв’язування задач.

Мета:

навчальна: узагальнити та систематизувати знання учнів про координати у просторі, формувати вміння учнів застосовувати вивчений матеріал до розв’язування задач.
розвивальна: розвивати логічне мислення, просторову уяву, розумову активність і пізнавальну самостійність учнів, вміння лаконічно та математично грамотно висловлювати свою думку і коментувати виконання завдань.
виховна: виховувати спостережливість, увагу, працьовитість та ініціативність, відповідальність, уміння співпрацювати з товаришами.

Тип уроку. Урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок
Обладнання:мультимедійний комплекс, добірки задач з теми: «Декартові координати у просторі»
Хід уроку
І Організаційний момент (1 хв).
Доклади серця свого до навчання і вуха свої до розумних слів.          Притчі Соломона 23:12


Привітання та перевірка наявності учнів.

ІІ Повідомлення теми, мети й завдань уроку (1 хв).
ІІІ Актуалізація опорних знань, умінь і навичок (10 хв).
Ми повинні знати – ми будемо  знати.   Д.Гільберт


Інтерактивний метод «Мікрофон»

1. Заповніть пропуски
• Три попарно перпендикулярні прямі х, у, z , які перетинаються в точці О називаються … осями.
• Вісь х називається віссю … , вісь у називається віссю … , вісь z називається віссю … .
• Точка О - … .
• Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі - … , позначену стрілкою, і … .
• Площини ху, хz, уz називають … площинами.
• … точки записуватимемо в дужках поряд із позначенням точки А (х; у; z; ).
• Точки на осі х мають координати ( … ).
• Точки на осі у мають координати ( … ).
• Точки на осі z мають координати ( … ).
• Точки площини ху мають координати ( … )
• Точки площини уz мають координати ( … )
• Точки площини хz мають координати ( … )
2. Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин. На дошці малюнок куба і система координат з початком в точці O. Переміщуючи початок координат в іншу вершину, розглянути варіанти знаходження координат вершин куба.
Куб.jpg
3. Як знайти координати середини відрізка, заданого в просторі?
4. Як знайти відстань між двома точками простору?
5. Заповнити таблицю.
Таблиця1
Таблица1.jpg
6. Планіметричний матеріал:
• види трикутників за сторонами, за кутами;
• види чотирикутників;
• ознаки паралелограма, прямокутника, ромба;
• центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника.

ІV. Узагальнення знань, умінь і навичок учнів (18 хв)


Щоб перетравити знання,потрібно поглинати їх з апетитом.   Анатоль Франс


Вчитель. На попередніх уроках ми з вами ознайомилися з декартовими координатами у просторі і побачили, що при розв’язуванні різних видів завдань, створюються певні алгоритми. Розглянемо і проаналізуємо таблицю 2.
Таблиця 2
Таблиця2.JPG

Розв’язування задач.

Колективне і коментоване розв’язування задач.
Вчитель: У вас на столах розкладені добірки задач з теми «Декартові координати у просторі» , де задачі систематизовані по блокам.

Блок А.
Довести, що  чотирикутник АBCD: є паралелограмом;  є ромбом;  є прямокутником.


Блок Б.
 Довести, що трикутник АBC: є правильним;  є рівнобедреним; є прямокутним  різностороннім; є прямокутним рівнобедреним.


Блок В.
 Знайти елементи трикутника, чотирикутника (координати вершини, довжину медіани, довжину діагоналі).


Блок Г.
  Знайти координати точок, симетричних відносно координатних прямих, координатних площин, початку координат.


Блок Д.
 Знайти координати точки, рівновіддаленої від  заданих точок. 


Задача (блок А). Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А (5; -3; 2) , В(9;-1; 3), С (12; -5; -1), D(8; -7; -2).
Розв’язання
Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником (ознака прямокутника). Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм.
Отже, щоб довести, що чотирикутник АBCD , заданий координатами вершин, є прямокутником, треба:
- перевірити, що діагоналі точкою перетину діляться навпіл (тобто координати середини діагоналей однакові);
- перевірити, що діагоналі рівні.
Знайдемо координати середини діагоналі АС точки О за формулами
Формула1.JPG

Знайдемо координати середини діагоналі BD точки О
Формула2.JPG
Координати середини діагоналей BD і АС однакові. Отже, АBCD - паралелограм. Тепер доведемо, що паралелограм АBCD є прямокутником. Перевіримо рівність діагоналей BD і АС. Знайдемо довжину діагоналі АС за формулою:
Формула3.JPG

Знайдемо довжину діагоналі BD.
Формула4.JPG
АBCD - паралелограм з рівними діагоналями, отже АBCD – прямокутник.

Задача (блок Г). Точка М (2; 8; 5) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі ОZ і в площині ХУ. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
Розв’язання
Нехай точка М (2; 8; 5) – середина відрізка АВ. За умовою точка А знаходиться на осі OZ, отже її координати А (0; 0; z). Точка В знаходиться в площині ХУ, отже її координати В (х; у; 0).
За формулами координат середини відрізка:
Формула5.JPG
Отже, координати кінців відрізка АВ: А (0; 0; 10), В (4;16;0). Знайдемо довжину відрізка АВ за формулою:
Формула6.JPG

Задача (блок Д). Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А (6; -3; 2) і В (2; 4; -1).
Розв’язання
Нехай точка Х лежить на осі z, отже її координати Х (0; 0; z). За умовою точка Х рівновіддалена від точок А і В, отже
Формула7.JPG
Знайдемо довжину відрізка АХ за формулою:
Формула8.JPG
Прирівнюємо:
Формула9.JPG
Формула10.JPG

Тест (для групи електриків) (8 хв).


Вчитель: Виберіть букву, що відповідає правильній відповіді. З отриманих букв складіть слово (закодоване слово: напруженість, що значає векторну силову характеристику електричного поля у відповідній точці).
1. Точки А і В задано координатами. Зазначте випадок, коли середина відрізка АВ лежить на площині ху.

Н І Е Р
А(1; 2; 4) А(2; 5; 6) А(0; 6; -8) А( 0; -12; 0)
В(3; 2; -4) В(2; 3; 2) В(2; 0; 4) В(10; 12; 4)

2. Яка з точок М є серединою відрізка АВ, якщо А (1; -1; -1), В(1; -1; 1)?

Т А Н П
М(2; -2; 0) М(1; -1; 0) М(-1; 1; 1) інша
відповідь

3. Точка В, що лежить на від’ємній півосі у на 5 одиниць від точки О має координати:

А У П Р
(0; 5; 0) (0; 0; -5) (0; -5; 0) (5; 0; 0)

4. Задано точку А (-1; 2; 3). Укажіть координати точки, симетричної точці А відносно площини ху.

Р Н Ж С
(-1; 2; -3) (-1; -2; 3) (1; 2; 3) (1; -2; -3)

5. Дано точку Р(-1; 3; 5). Знайдіть координати точки, симетричної точці Р відносно координатної площини yz.

У А Р П
(1; 3; 5) (-1; -3; 5) (-1; 3; -5) (1; -3; -5)

6. У просторі задані точки А(2; 3; -5) і М(1; -1; 2). Знайдіть координати точки , яка симетрична точці А відносно точки М.

А І Н Ж
(-2; -3; 5) (3; 2; -3) (1; 4; -7) (0; -5; 9)

7. Яка з даних точок симетрична відносно початку координат точці А (2; -1; 6)?

А І Е Т
(-2; -1; 6) (2; 1; 6) (-2; 1; -6) інша
відповідь

8. Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е(-3; 8; 7) і F(-9; 6; 1).

Н А Т С
(-6; 7; 4) (-12; 14; 8) (0; 0; 0) (3; 1; 3)

9. Точка С, що лежить на додатній півосі z на відстані 4 одиниці від точки О має координати:

А І Р Ж
(0; 0; -4) (0; 0; 4)и (0; 4; 0) (-4; 0; 0)

10. Якій координатній площині належить точка А (4; 0; 2)?

Ж Е С Т
ху yz xz інша
відповідь

11 Знайти відстань від точки А (1; 2; 3) до координатної площини ху.

А Н Т У
1 2 3 інша
відповідь

12 Дано відрізок АВ і точка С – його середина. Знайдіть координати точки В , якщо А(2; 3; -1), С(1; 1; 1).

Ь Н Ж С
(0; -1; 3) (1,5; 2; 0) (1; 2; -2) (2; 1; 0)
V. Підсумок уроку(5 хв).


Те,що я встиг пізнати,- чудово. Сподіваюся, таке ж чудове те, що мені ще доведеться пізнати.        Сократ 


Вчитель: Ми завершили вивчення невеликої за обсягом, але не за її значенням у математиці теми «Декартові координати у просторі». Рене Декарт примусив алгебру працювати на геометрію і навпаки.
Ввівши систему координат, він поєднав ці дві науки. Тільки вісім математичних понять пов’язано з ім’ям Декарта, але й одного з них – декартової геометрії достатньо, щоб назавжди його ім’я лишилося
серед найвидатніших творців математики.

Запитання


Я задоволений (не задоволений) результатом власної діяльності на уроці,тому що… .
На уроці найважливішим відкриттям для мене було… .
Мої враження після уроку такі… ..

VІ. Домашнє завдання (2 хв).


Повторити §4, п. 23- п 30; задачі № ( добірка задач).

VІІ. Література


Бевз Г.П. Математика: 11кл. : підруч. для загальноосвітніх. нав.зак. : рівень стандарту /Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.
Захарійченко Ю.О. Повний курс математики в тестах / Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний . – Х.: Видавництво «Ранок», 2011. – 496с. – (Енциклопедія тестових завдань).

Добірка задач до теми

«Декартові координати у просторі»

Блок А. Довести, що чотирикутник АBCD: є паралелограмом; є ромбом; є прямокутником.


  1. Доведіть, що чотирикутник АBCD – паралелограм, якщо А(3; -1; -2), В(-5; 7; 4), С(1; 5; 2), D(9; -3; -4)
  2. Доведіть, що чотирикутник АBCD є ромбом, якщо А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4)
  3. Доведіть, що чотирикутник АBCD є ромбом, якщо А(2; 1; 2), В(0; 1; 6), С(-2; 5; 6), D(0; 5; 2)
  4. Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А(0; -6; 0), В(1; 0; 1), С(0; 0; 2), D(-1 -6; 1)
  5. Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А(0; -6; 0), В(1; 0; 1), С(0; 0; 2), D(-1 -6; 1)
  6. Доведіть, що чотирикутник АBCD з вершинами в точках А(-3; 2; 1), В(1; 1; 2), С(7; 20; -3), D(3; 21; -4) є прямокутником
  7. Доведіть, що точки А(2; 4; -4), В(1; 1; -30), С(-2; 0; 5), D(-1; 3; 4) є вершинами паралелограма АBCD
  8. Доведіть, що точки А(-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), С(4; 0; -10), D(2; -6; -8) є вершинами паралелограма АBCD
  9. Доведіть, що чотирикутник АBCD з вершинами в точках А(0; 2; 0), В(1; 0; 0), С(2; 0; 2), D(1; 2; 2) є ромбом
Блок Б. Довести, що трикутник АBC: є правильним; є рівнобедреним; є прямокутним різностороннім; є прямокутним рівнобедреним.


  1. Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 4), В(9; -4; 1), С(-3; 0; 7) є рівнобедреним.
  2. Визначити вид трикутника АВС, якщо А(7; 1; -7), В(0; 8; -7), С(0; 1; 0).
  3. Визначити вид трикутника АВС, якщо А(0; -10; -6), В(0; -8; -6), С(-1; -8; -5).
  4. Визначити вид трикутника АВС, якщо А(-5; 2; 1), В(-4; 2; 1), С(-5; 3; 1).
  5. Доведіть, що трикутник з вершинами А(7; 1; -5), В(4; -3; -4), С(1; 3; -1) є рівнобедреним.
  6. Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0) є прямокутний.
  7. Доведіть, що трикутник з вершинами А(1; 0; 1), В(1; 1; 0), С(1; 1; 1) є прямокутний.
  8. Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 1), В(-2; 1; 3), С(1; 3; -2) є рівносторонній.
Блок В. Знайти елементи трикутника, чотирикутника (координати вершини, довжину медіани, довжину діагоналі).


  1. Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(-3; 4; 5), В(-6; 2; 3),С(7; -2; 1). Знайти координати вершини D.
  2. Точки М(3; -2; 1) і К(-1; 6; 3) – середини сторін АВ і ВС трикутника АВС відповідно. Знайдіть координати точок В і С, якщо А(5; -1; 1).
  3. Знайдіть довжину медіани трикутника АВС, проведеної до сторони ВС, якщо А(10; -11; 9), В(2; -7; 6), С(6; -3; -2).
  4. Знайти координати вершини D паралелограма АВСD, якщо А(1; 3; 2), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4).
  5. Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(4; 2; -1), С(-4; 2; 1),D (7; -3; 4). Знайти координати вершини В.
  6. Чотирикутник АBCD є паралелограмом. В(1; 1; -3), С(-2; 0; 5), D (-1; 3; 4). Знайти координати вершини А.
  7. Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), D (2; -6; -8). Знайти координати вершини С.
  8. Знайти довжину діагоналі ВD паралелограма АВСD, якщо А(1; -3; 0), В(-2; 4; 1), С(-3; 1; 1).
  9. Знайти довжину діагоналі АС паралелограма АВСD, якщо А(2; -6; 0), В(-4; 8; 2), D(0; -12; 0).
  10. Знайти довжину медіани ВВ1 трикутника АВС з вершинами А(4; 0; -8), В(2; 0; 3), С(16; 2; 8).
  11. Дано вершини трикутника АВС: А(-2; 0; 1), В(8; -4; 9), С(-1; 2; 3). Знайти довжину медіани трикутника, проведеної із вершини С.
  12. Доведіть , що трикутник з вершинами А(2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0) прямокутний. Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.
Блок Г. Знайти координати точок, симетричних відносно координатних прямих координатних площин, початку координат.


  1. Кінці відрізка А(5; -2; 1) і В (5; 3; 6). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини хz.
  2. Кінці відрізка А(7; -3; 4) і В (6; 7; 8). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини ху.
  3. Точка М (2; 6; 3) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі х і в площині уz. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
  4. Точка М (2; 8; 5) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі z і в площині ху. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
  5. Точки А( 3; -6; 2) і А1 симетричні відносно координатної площини уz. Знайдіть відстань АА1.
  6. Точка В1 симетрична точці В(3; -4; 7) відносно координатної площини хz. Знайдіть відстань ВВ1.
  7. Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно площини хz, якщо А(5; -2; 1), В(5; 3; 6).
  8. Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно площини ху, якщо А(8; -3; 4), В(8; 7; 8).
Блок Д. Знайти координати точки, рівновіддаленої від заданих точок.


  1. Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А(6; -3; 2) і В( 2; 4; -1).
  2. Відстань між точками А(4; у; -2) і В(3; 2; -5) дорівнює √26. Знайти значення у.
  3. На осі аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(-2; 3; 5) і С(3; -5; 1).
  4. На осі абсцис знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(1; 2; 2) і С(-2; 1; 4).
  5. На осі ординат знайти точку С, рівновіддалену від точок А(-2; 3; 1) і В( 1; 2; -4).