Методи доведення теорем в шкільному курсі геометрії

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Автор: Соловей Ірина Павлівна - Олександрівська ЗОШ Приазовського району

И чем труднее доказательство,
тем больше будет удовольствия тому,
кто это доказательство найдёт
Р.Декарт

Вивчення теорем і їх доведень в систематичних курсах геометрії і алгебри починається із 7 класу і посідає значне місце в навчальному матеріалі. Наприклад, лише в курсі геометрії 7 класу паралельні підручники містять по 18 теорем. Крім того, в них передбачено значну кількість задач на доведення, які в традиційних підручниках геометрії, наприклад, у підручнику А. П. Кисельова, відігравали роль теорем. Учні виконують доведення як складову частину розв'язування задач на побудову.

Сьогоднішнім учням жити і працювати в суспільстві інформаційних технологій. Тому суспільству необхідні спеціалісти, які б уміли аналізувати проблеми, встановлювати системні зв’язки, виявляти протиріччя, знаходити шляхи їх вирішення, прогнозувати можливі варіанти розвитку таких рішень. Саме така особистість готова до постійних змін у технологіях у будь – якій сфері діяльності, творчого застосування набутих знань у нових умовах.

Які ж вимоги програми до математичної підготовки учнів, що стосуються теорем і доведення їх? На рівні обов'язкового мінімуму програма вимагає в учнів розв'язувати типові задачі на обчислення, доведення і побудову, проводити при цьому доказові міркування, спираючись на теоретичні факти (аксіоми, теореми, означення). Для виконання цих вимог учні повинні знати формулювання аксіом і основних теорем.

Чи повинні учні знати всі доведення теорем? Під час вивчення певної теми на рівні обов'язкових результатів навчання учні повинні знати формулювання теореми, основні етапи доведення, найважливіші обґрунтування і найпростіші застосування теореми; на достатньому та високому рівнях - вміти доводити і застосовувати теорему в складніших випадках.

Пам'ятати доведення вивчених теорем на кінець навчального року - вимога не обов'язкова. На усних екзаменах учні повинні знати на відповідних рівнях ті теореми, які включено до екзаменаційних білетів.

Теореми і їх доведення розвивають просторові уявлення та уяву, вчать методам доведення, сприяють усвідомленню ідеї аксіоматичної побудови математики. Доведення дають змогу учням засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності, формують позитивні якості особистості, зокрема, обґрунтованість суджень, стислість, чіткість висловлення думки.

У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими основними методами доведень:

 синтетичним,

 аналітичнім,

 аналітико-синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців),

 методом доведення від супротивного,

 повної індукції,

 математичної індукції,

 методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пере¬несення, гомотетія і подібність),

 алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний і координатний.

У сучасному шкільному курсі застосовано також методи математичного аналізу:

 метод границь,

 методи диференціального та інтегрального числення.

Експериментальні дослідження психологів і методистів, досвід роботи передових учителів свідчать про те, що коли в учнів сформовано загальні й специфічні розумові дії, які входять до складу уміння доводити, то за належної організації вивчення вже у дев’ятирічній школі учні можуть засвоїти основні методи дове¬день. Психологічними і дидактичними передумовами, які сприяють свідомому засвоєнню кожного методу, є оволодіння учнями алгоритмами або правилами-орієнтирами (евристичними схемами) методів, які дають орієнтовну основу діяльності, спрямовану на пошук і виконання доведення. Ефективним при цьому є такий шлях ознайомлення учнів зі змістом методу доведення і правилом-орієнтиром його, коли на прикладі доведення одного-двох тверджень (теорем або задач на доведення) учні під керівництвом учителя колективно з'ясовують суттєві загальні кроки в доведенні і формулюють відповідний алгоритм чи правило-орієнтир. Розглянемо основні методи доведень.

Аналітичний метод. До математики і методики її навчання історично увійшли два види аналітичних міркувань. Перший з них разом із синтетичним описав Евклід у своїх «Началах», хоча вони були відомі ще раніше Платану (428-348 до н.е.) і Аристотелю (384-322 до н. е.). Другий вид ввів Папп (III ст.). Суть аналізу Евкліда можна пояснити так. Міркування тут проводяться від того, що треба довести. При цьому з припущення правильності того, що треба довести (основа), виводились наслідки, які привели до очевидного правильного висновку (наслідку). Такі аналітичні міркування і називають аналізом Евкліда. Проте цей аналіз те можна вважати доведенням, хоч ми й дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, -а=а, де а=0 - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо таку рівність а2 = а2. Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок рівносильні взаємно обернені судження. Саме з цієї причини аналіз Евкліда не можна вважати доведенням, і тому його називають інколи «недосконалим аналізом».

Синтетичний метод. Часто аналіз Евкліда допомагає знайти синтетичний метод доведення. У синтетичному методі доведення міркування проводяться від умови або від уже відомого твердження до доводжуваного. Якщо умову доводжуваного твердження (або відоме твердження) позначити буквою А, а висновок буквою В, то схема аналітичного методу матиме вигляд А --> А1 --> А2 --> ... --> Аn --> В. Недоліком синтетичного методу доведення в розглянутому прикладі є неможливість (коли не проведено аналізу Евкліда) здогадатися, з чого треба починати доведення. У геометричних доведеннях синтетичним методом важко здогадатися про додаткову побудову, яку часто в процесі доведення треба виконати. Правило-орієнтир пошуку доведення синтетичним методом за допомогою аналізу Евкліда можна задати так.

1. Припустити, що висновок (вимога) теореми (задачі на доведення) правильний.

2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.

3. Переконатися, що одержаний висновок-наслідок є або очевидною, або встановленою раніше істиною.

4. Взявши одержаний істинний висновок за вихідне твердження, провести міркування у зворотному напрямку і перейти, якщо це можливо, до висновку про правильність доводжуваного твердження.

Синтетичний метод разом з аналізом Евкліда особливо зручно використовувати в разі доведення нерівностей. Аналіз Паппа, на відміну від аналізу Евкліда, відповідає всім вимогам доведення, і тому його називають «досконалим аналізом», або аналітичним методом доведення. Папп так характеризує аналітичний метод доведення: в аналізі шукане вважається знайденим, і визначаємо, звідки воно одержалося би, і далі, що передувало б цьому останньому, поки не дійдемо до чого-небудь відомого - того, що могло б стати вихідним пунктом (В. П. Шереметевский. Очерки по истории математики.- М., 1940). Логічною основою аналітичного методу, як і синтетичного, є аксіома: з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок. Схема міркувань буде при цьому такою: В <-- Аn <-- … <-- А2 <-- A1 <-- А.

Відмінність аналізу Евкліда від аналітичного методу доведення (аналізу Паппа) полягає також у тому, що в аналізі Евкліда з припущення правильності доводжуваного виводяться необхідні умови (наслідки), а в аналітичному методі доби¬раються достатні умови для виконання висновку доводжуваного твердження.

У шкільній практиці вчителі і деякі автори методичних посібників часто доводять твердження аналітичним методом, а після цього виконують обернений шлях міркувань, тобто доводять твердження синтетичним методом, хоч у ньому немає потреби. При цьому таке доведення безпідставно називають аналітико-синтетичним методом.

Аналітико-синтетичний метод. Цей метод полягає в тому, що пошук доведення починають аналітичним методом, але міркування не доводять до кінця, а, спиняючись на певному кроці, починають міркувати у зворотному напрямку, тобто з розгортання умови. Отже, далі доведення виконують синтетичним методом. Рух з протилежних кінців в загальному випадку проводиться доти, доки міркування не зустрінуться на спільному твердженні або на суперечливих висновках. Цей метод особливо зручний тоді, коли перетворення лише умови чи лише висновку теореми (задачі) не приводить до мети.

Метод від супротивного. Для супротивних тверджень справджується закон виключеного третього: з двох супротивних тверджень одне завжди правильне, друге – ні, а третього бути не може. Тому замість безпосереднього доведення даного твердження можна показати, що супротивне йому твердження неправильне. З цього випливатиме справедливість даного. При цьому стосовно супротивного твердження проводять аналіз Евкліда, з нього виводять наслідки. Деякі автори метод від супротивного ще називають непрямим, апагогічним, зведенням до абсурду. Доводячи методом від супротивного твердження: “Якщо P, то Q” (1) ми спочатку замінюємо його новим твердженням, оберненим протилежному: “Якщо Q, то P” (2) і доводимо це нове твердження. А тому, що ці два твердження завжди рівносильні, то з цього доведення випливає також справедливість даного твердження (1). Іноді з припущення виводять наслідок, який суперечить цьому самому припущенню або деякому вже обґрунтованому твердженню чи аксіомі. Це також свідчить про те, що припущення (твердження, супротивне доводжуваному) неправильне, а, отже, правильне доводжуване твердження.

Іноді, щоб показати абсурдність припущення, розбивають його на кілька випадків і розглядають кожний з них окремо. Такі доведення називають ще непрямими роздільними.

Доводячи методом від супротивного, треба спростувати твердження, супротивне даному, а не протилежне, як неправильно пояснюється в багатьох підручниках і посібниках, бо для протилежних тверджень закон виключеного третього неправильний.

Нехай, наприклад, маємо твердження “P>Q”. Супротивним і протилежним йому будуть відповідно твердження “P не більше Q” і “P<Q”. Якщо ми хочемо довести методом від супротивного це твердження, то ми повинні показати, що твердження “P не більше Q” неправильне. Якщо ж ми покажемо, що неправильне твердження “P<Q”, то з цього ще не випливатиме справедливість доводжуваного, бо може бути, “P=Q”.

Цей метод вводиться вже в 7 класі на початку навчання курсу планіметрії. Після розгляду конкретних двох прикладів доведень методів від супротивного учні колективно складають його правило – орієнтир.

1. Припустити супротивне тому, що треба довести.

2. Користуючись припущенням, відомими аксіомами і раніше доведеними твердженнями шляхом міркувань дійти висновку, який суперечить одній з наведених умов:

 умові твердження, що доводиться;

 відомій аксіомі;

 раніше доведеному твердженню;

 припущенню.

3. Зробити висновок, що припущення - неправильне, а правильне те, що треба довести.

Досвід показує, що правило – орієнтир методу доведення від супротивного корисно оформити у вигляді таблиці і вивішувати її кожного разу під час наступного вивчення курсу, коли доводиться використовувати цей метод.

Варто рекомендувати учням письмово оформляти доведення методом від супротивного у вигляді трьох кроків відповідно до наведеного правила-орієнтира; усні доведення теж будувати за цією схемою.

Метод повної індукції. Якщо, доводячи теорему, розчленовують її на скінчене число тверджень і доводять кожне з цих тверджень окремо, то такий метод доведення називають методом повної індукції.

Логічною основою цього методу є така аксіома логіки: якщо якусь властивість мають всі елементи множини А і всі елементи множини В і якщо множина М є сума множин А і В, то цю саму властивість має і кожен елемент множини М.

Метод математичної індукції. Це метод, логічною основою якого є принцип математичної індукції, взятий в шкільному курсі за аксіому: Якщо твердження А(n), котре залежить від натурального числа n, виконується для n=1 або n=n0, з припущенням, що воно виконується для натурального числа n=k, де k>n0, випливає, що воно виконується і для n=k+1, то це твердження виконується і для будь – якого натурального числа n (n>n0). Правило – орієнтир доведення методом математичної індукції складається з трьох кроків.

1. Перевірити правильність твердження для n=1 або n=n0.

2. Припустити, що твердження правильне при n=k, де k>n0, і довести, користуючись цим припущенням, що твердження правильне при n=k+1, тобто для наступного значення n.

3. Зробити висновок, що на підставі принципу математичної індукції твердження правильне для будь – якого натурального числа n (n>n0).

Відомо, що будь-яке доведення – це дедуктивне міркування. Метод математичної індукції не є винятком, хоч історично в його назві є термін “індукція”. Справді, на першому кроці цього методу виконується індуктивне міркування, але завдяки посиланню на загальне, раніше відоме твердження – принцип математичної індукції (аксіоми) в третьому кроці, в цілому міркування, які проводяться в методі математичної індукції, дедуктивні. Даний метод застосовується для доведення алгебраїчних тверджень.

Метод математичної індукції вперше почали застосовувати в XVI – XVII ст. Мавроліко, Паскаль, Бернуллі та інші математики. Широко відомим він став тільки в XIX столітті.

Іноді метод математичної індукції називають ще методом повної індукції, методом досконалої індукції, методом повної математичної індукції, методом переходу від п до п+1.

Метод геометричних перетворень. Вивчивши центральну та осьову симетрії вже можна скласти правило – орієнтир методу руху, яке в подальшому вивченні навчального матеріалу повністю підтвердить себе як правило – орієнтир методу геометричних перетворень.

1. Провести синтетичний аналіз доведення теореми (задачі).

2. Визначити, які об’єкти чи частини об’єктів, що розглядаються в доведенні, могли утворитися методом геометричних перетворень.

3. Застосувати основні властивості геометричних перетворень.

4. Зробити висновок.

Координатний метод. Метод координат в курсі геометрії починається у 8 класі, а перед цим була проведена пропедевтична робота в курсі математики 6 класу. Перевага методу координат перед синтетичним методом, за якого безпосередньо розглядаються фігури і кожна задача потребує особливого підходу; в його алгоритмічності. Справді, за допомогою методів координат будь – яка задача зводиться до алгебраїчної, а алгебраїчні задачі легше алгоритмізуються. Метод координат є основним методом дослідження властивостей геометричних фігур в аналітичній геометрії. Цей метод спрощує розв’язання багатьох геометричних задач, доведення теорем, дає можливість спростити виклад теоретичного матеріалу, що стосується векторів, тригонометричних функцій.

У класах з поглибленим вивченням математики, на заняттях математичного гуртка в звичайних класах доцільно ознайомити учнів з методом координат розв’язування геометричних задач (доведення теорем). У зв’язку з цим варто на прикладах розв’язання принаймні двох задач виділити правило – орієнтир методу координат.

1. Виділити умови і вимоги задачі (теореми). Обрати систему координат, відносно якої перевести вимоги на мову координат і скласти рівності зі змінними.

2. Використовуючи умови задачі (теореми), перетворити рівності зі змінними і прийти до результату на мові координат.

3. Здобутий результат перевести на мову геометрії.

Векторний метод. З векторним методом доведення геометричних тверджень і відповідним правилом – орієнтиром доцільно ознайомити учнів на прикладах доведення двох тверджень, перше з яких учні вміють доводити і без застосування векторів. Внаслідок виділення суттєвого спільного в обох доведеннях учні колективно під керівництвом учителя можуть прийти до правила – орієнтира векторного методу доведення тверджень.

1. Виділити в формулюванні теореми (задачі) умову і вимоги, виконати рисунок. Сформулювати вимоги мовою векторів і, враховуючи їх, позначити вектори на рисунку.

2. Враховуючи умови і вимоги, скласти допоміжні векторні рівності. Для цього виразити, якщо це потрібно, вектори у вигляді суми чи різниці інших векторів, або у вигляді добутку вектора на число. Перетворити одержані рівності й прийти до потрібної.

3. Перекласти одержану рівність на мову геометрії.

Під навчанням доведень ми розуміємо навчання готових доведень, пропонованих учи¬телем або підручником, і навчання учнів самостійного пошуку доведень, на відміну від А. А. Столяра, який під навчанням доведень розуміє навчання розумових процесів пошуку, відкриттів і побудов доведення, а не навчання відтворення і заучування готових доведень. Наше розуміння загальної методичної проблеми навчання доведень пояснюється тим, що готові доведення посідають значне місце у процесі навчання математики. За умови належної організації навчання готових доведень можна формувати в учнів компоненти самостійного пошуку і побудови доведення. Готові доведення мають виступити як моделі, на яких учні навчаються розумових дій і прийомів розумової діяльності, що лежать в основі уміння доводити, методів доведень і їх застосування, вчаться самостійно шукати доведення за аналогією з вивченим.


При підготовці до пошуку складніших доведень можна скористатися правилами-орієнтирами, що вказують, як встановити найбільш поширені відношення між двома фігурами: рівність, подібність фігур, паралельність прямих або відрізків. Наприклад, щоб довести рівність трикутників, досить:

1) підвести їх під одну з ознак рівності або скористатися означенням рівних три-кутників;

2) довести, що один з трикутників можна дістати з другого при деякому русі (симетрії, повороті, паралельному перенесенні).

Щоб довести рівність відрізків або кутів, досить:

1) довести рівність трикутників або інших фігур, елементами яких є вказані у вимові відрізки (кути), а потім зробити висновок про рівність відповідних відрізків (кутів);

2) довести, що один відрізок (кут) можна одержати з другого шляхом деякого руху.

Після вивчення скалярного добутку двох векторів на площині і в просторі учнів ознайомлюють ще з одним способом доведення рівності відрізків і кутів - векторним.

Слід звернути увагу учнів і на те, що у зв'язку з доведенням рівності фігур часто користуються властивостями вимірювання відрізків і кутів і загальними властивостями величин:

а) дві фігури рівні між собою, якщо кожна з них рівна третій;

б) якщо від двох рівних відрізків (або кутів) відняти рівні відрізки (або кути), то дістанемо рівні відрізки (або кути).

Те саме справедливе щодо додавання.

Необхідною умовою правильного вибору потрібної ознаки поняття, під яке підводиться об'єкт, є усвідомлення всіх суттєвих властивостей і ознак. З цього погляду важливо під час вивчення основних понять та їхніх відношень привести в систему ці властивості і ознаки і показати можливість їх використання.

Володіння методами доведень і вміння вибрати потрібний метод – важлива умова для забезпечення самостійного виконання доведення. Щодо навчання учнів самостійного пошуку доведень, то найважливішим є аналітичний метод. Навчання учнів володіння аналітичним методом найкраще проводити на зразках доведень у вигляді евристичної бесіди. Наведемо модель організації діяльності учнів під час використання аналітичного методу на прикладі задачі на доведення.

Правило-орієнтир аналітичного методу доведення може виглядати так.

1. Запитати: з якого раніше відомого твердження необхідно випливає висновок доводжуваного твердження? Іншими словами, знайти доведене раніше твердження (або аксіому), якого достатньо, щоб зробити висновок доводжуваного твердження.

2. Якщо такого раніше відомого твердження знайти не вдається, то треба шукати інше, поки ще не доведене твердження, з якого необхідно випливав би висновок доводжуваного.

3. Потім треба шукати наступне твердження, з якого необхідно випливало би попереднє, і так далі, поки не буде одержане, твердження, яке безпосередньо випливає з умови теореми.

4. Зробити висновок, що дане твердження доведене, оскільки весь ланцюжок достатніх умов для виконання висновку задовольняється в силу умови доводжуваного твердження.

Ознайомити учнів з аналітичним методом доведення і відповідним правилом-орієнтиром найзручніше на прикладі задачі, а застосувати його - під час доведення теорем про площі многокутників.

В міру сформованості в учнів основних компонентів уміння доводити і набуття першого досвіду виконання доведень варто запропонувати евристичну схему пошуку доведення. Ця схема може виглядати так.

1. Виділити те, що дано в умові, і вказати, що вимагається довести.

2. Ввести всі потрібні позначення. У геометричних теоремах (задачах) попередньо виконати рисунок.

3. Записати умову і висновок теореми (задачі) у символічній формі.

4. Назвати ознаки, потрібні для доведення.

5. Розгорнути умови, тобто з того, що дано, вивести можливі наслідки.

6. Зіставити з умовами і їхніми наслідками кожну з ознак, за якими можна довести те, що вимагається. Вибрати ознаку, зручну для доведення.

7. Якщо безпосередньо вибрати відповідну ознаку не вдається, подумати, які ще ознаки, потрібні для доведення, можуть бути задані в умові.

8. Постійно пам’ятати, що коли пошук доведення ускладнений, треба звертатися до даних і до того, що випливає з даних.

У зв'язку з виконанням геометричних доведень цю схему можна доповнити вказівками, що стосуються геометричного рисунка а саме: після виконання третього пункту схеми проаналізувати рисунок, позначити на ньому рівні елементи, прямі кути, паралельні відрізки та інші характерні особливості рисунка і окремих його елементів. Потім, виділивши на рисунку елементи фігур, відношення яких треба довести або які треба визначити, задати собі питання: чим ще є або чим ще могли б бути дані елементи? Окремі елементи рисунка (відрізки, кути тощо) доцільно співвідносити з іншими елементами, включати їх до складу інших фігур, розглядати в різноманітних зв'язках з іншими елементами (прийом переосмислювання елементів задачі). Якщо на рисунку немає фігур або елементів, необхідних для використання ознак, за допомогою яких можна довести те, що треба, то варто виконати додаткові побудови і зробити всі висновки, що випливають з них.

Таку евристичну схему доцільно разом з іншими матеріалом помістити в математичному кабінеті на стенді «Учись учитися».

Можливий варіант правила-орієнтиру методу доведення від супротивного такий. Щоб довести твердження методом від супротивного, треба:

1. Припустити супротивне тому, що треба довести.

2. Користуючись припущенням, відомими аксіомами і раніше доведеними твердженнями шляхом міркувань дійти висновку, який суперечить одній з наведених умов:

 умові твердження, що доводиться;

 відомій аксіомі;

 раніше доведеному твердженню;

 припущенню.

3. Зробити висновок, що припущення – неправильне, а правильне те, що треба довести.

Неможливість і єдність чого-небудь у математиці завжди доводяться методом від супротивного. За цим методом інколи доводяться обернені твердження.

Є звичайно, в шкільному курсі математики і очевидні для учнів твердження, наприклад: «Кожний відрізок має середину і тільки одну», «Кожний кут має бісектрису» і т.п. Проте переважна більшість теорем (наприклад, ознаки подільності на 3 і 9, теорем Піфагора, теорема Безу) зовсім не очевидна. В учнів природно виникають питання: чому правильні ці теореми? Тому їх і доводять. У підручниках доведення теорем записані в розгорнутому вигляді. Тут не виділяється умова теореми і висновок, а саме доведення досить багатослівне. Учні, зрозуміло, повинні вміти читати такі доведення. Але їх треба ознайомити також з коротким записом доведень за схемою: дано - довести - доведення.

Учнів бажано навчити скорочено записувати теореми і їх доведення. Але не треба забувати, що такий запис на перших порах іноді заважає учням розуміти саме доведення. Тому деякі методисти пропонують привчати їх до символічних записів заздалегідь, ще перед в вивченням перших доведень. Можна їх ознайомлювати з такими записами і після вивчення перших доведень.

Не треба переоцінювати роль таких записів. Не слід намагатися записувати на дошці, а тим більше в зошиті, доведення всіх передбачених програмою теорем. Значну частину їх можна доводити усно.

Доведення теорем дає змогу учням краще осмислювати і запам’ятовувати ці теореми. Адже за допомогою доведень пов’язують теореми, а ці зв’язки сприяють кращому їх усвідомленню і запам’ятовуванню.

Вивчають доведення також і для того, щоб розвивати в учнів логічне мислення, однією з невід’ємних якостей якого є доказовість. Цю якість не можна виховати самими тільки зауваженнями про доказовість, її треба виховувати на конкретних прикладах в результаті ознайомлення з конкретними доведеннями.

Якби учні не вивчали доведень, вони б зовсім не мали уявлення про математику як дедуктивну науку. Самий перелік формул, теорем, правил і прикладів – це ще не математика.

Не можна скидати з рахунку також потреби вищої школи. Якби в школі учні не вивчали доведень, вони були б не підготовлені до навчання у вищій школі, особливо на математичних і технічних факультетах.

Проводячи опитування учнів 8 класів я з’ясувала, що засвоїти логічну структуру доведення для них дуже важко, лише 25% учнів можуть відтворити доведення теореми, 37% - сформулювати обернену чи контрапозитивну теорему за алгоритмом, а деякі учні взагалі не знають методів доведення теорем чи, навіть, вважають, що теорема має тільки одне доведення.

Виходячи з результатів опитування та аналізу роботи інших вчителів, я склала такі практичні поради та пропозиції:

1. Врахування в процесі навчання індивідуально – психологічних особливостей учнів. Тобто під час вивчення теореми доцільно поділити клас на групи за рівнем успішності, за способом мислення, за швидкістю сприймання, за рівнем розвитку творчих здібностей. Звичайно, такий поділ набагато ускладнить роботу вчителя, але результати стануть вам нагородою.

2. Використання вчителем правил-орієнтирів, ефективних методів, нестандартних форм уроків стане добрим помічником у вашому прагненні навчити ваших учнів логічно мислити та доводити теореми. Нестандартна форма уроку підвисить інтерес учнів до навчально – пізнавальної діяльності.

3. Залучення учнів до самостійної пошукової діяльності, підвищення інтересу дітей до науки. Це завдання буде виконане лише в тому випадку, якщо ви будете використовувати інтерактивні методи навчання. Це ті методи, які дають можливість дитині не боятися своїх думок, а також, не критикувати інших, навчитися будувати та презентувати свої логічні структури.

4. Спрямованість навчальної діяльності на розвиток творчих та креативних здібностей учнів.

Згадуючи основне завдання, яке стоїть на сучасному етапі перед школою, хочеться нагадати, що ми повинні виховати компетентну особистість, і нехай навчання учнів доведень теорем буде нашим вкладом у цю загальну справу нашого суспільства.


Література.
  1. Веліховська А.Б. Готуємось до олімпіади з математики [Текст] / А.Б. Веліховська. – Харків: Видавнича група «Основа», 2007. – 160 с. – (Бібліотека журналу «Математика в школах України». Вип. 2 (50)).
  2. Жидков С.І. Геометричні нерівності для довільного трикутника [Текст] / С.І. Жидков. – Харків: Видавнича група «Основа», 2008. – 143 с. – (Бібліотека журналу. Вип. 12 (72)).
  3. Кушнір І.А. Геометрія: Трапеція в задачах [Текст] / І.А. Кушнір. – Харків: Видавнича група «Основа», 2009. – 80 с. – (Бібліотека журналу «Математика в школах України». Вип. 9 (81)).
  4. Філіпповський Г.Б. Чудові обмеження в задачах на побудову [Текст] / Г.Б. Філіпповський. – Харків: Видавнича група «Основа», 2011. – 141с. – (Бібліотека журналу «Математика в школах України». Вип. 9 (105)).