Применение производной к решению прикладных задач в 11 классе

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Увага! Категорично заборонено використовувати цей матеріал на інших інтернет-порталах і в засобах масової інформації без письмового дозволу автора. Дозволяється, з метою навчання, використовувати елементи розробки з обов'язковим посиланням на дану сторінку.

Ревенько сертифікат 189.jpg

Применение производной к решению прикладных задач в 11 классе

Автор: Ревенько Валентина Михайловна, Запорожский многопрофильный лицей "Перспектива"


Роль математики в различных областях естествознания и в разное время была неодинаковой. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и возможность описать основные черты и свойства объекта на языке математических понятий соотношений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект – пол комнаты – заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако в результате замены реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг факторов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т. е. прогнозировать результаты будущих наблюдений. Математические модели давно, успешно применяются в различных областях.

Русский математик П.Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности: как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды (раскроить лист метала, кусок кожи, отрезок ткани, вырезать балку, технолог расставляет станки так, чтобы обработка детали заняла как можно меньше времени). Такие задачи приходится решать не только человеку. Пчелы пытаются придать своим сотам меньше воска. Хотя они не математики, но решают эту задачу очень успешно. Пчелам помогает инстинкт. Человек действует не по инстинкту, а по разуму. И большую помощь в решении таких задач оказывает производной функции. Рассмотрим это на примерах.

Задача 1.

Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать стойку прямоугольного сечения так, чтобы она могла выдержать наибольшую нагрузку. Какими должны быть размеры сечения?


Решение:

Стойка будет воспринимать наибольшую нагрузку тогда, когда площадь его поперечного сечения будет наибольшей. Задача, таким образом, сводится к определению прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в круг диаметра d.

Ревенько 1.png

Обозначим одну сторону прямоугольника через х. Пусть АВ = х, тогда:
Ревенько 2.png

Следовательно площадь прямоугольника S=AB∙BC;

x∈(0;d), которую можно рассматривать как функцию S=S(x).

Нужно найти наибольшее значение функции S(x).

Вычислим производную функции S(x).

Ревенько 3.png

Находим критические точки: S' (x)=0


Ревенько 4.png

Функция S(x) непрерывна на интервале x∈(0;d) и при x=(d√2)/2 достигает максимума, значит, наибольшее значение функция принимает при x=(d√2)/2.

Итак, AB=BC=(d√2)/2.

Таким образом, чтобы стойка могла воспринимать наибольшую нагрузку, ее поперечное сечение должно быть квадратным.

Задача 2

Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона α боковых сторон этой трапеции сечение канала будет иметь наибольшую площадь?


Решение:
Ревенько 5.jpg

Определим площадь сечения канала как функцию угла α. Пусть боковые стороны и меньшее основание равны а. Тогда площадь трапеции

Ревенько 6.png

Исследуем функцию S(α) на экстремум

Ревенько 7.png

Ревенько 8.png

Вывод:

Итак, мы столкнулись с задачами различного содержания, но для их решения применяли одну и туже схему: исходя из условия задачи составляем функцию и при помощи производной находим наибольшее или наименьшее значение этой функции.

Литература

1. Никольский С.М. Элементы математического анализа. М.: Наука, 1989

2. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Просвещение, 2004.

3. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов / Пер. с англ. М.: Высшая школа, 1983.

4. Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра и начала анализа: учебник для классов с углубленным изучением математики. - Х : Гимназия, 2011.