Симетрія

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

ВИТОКИ ТА ПОНЯТТЯ СИМЕТРІЇ


Симетрія - це така особливість природи, про яку прийнято говорити, що вона фундаментальна, охоплює всі форми рухи та організації матерії. Так як витоки поняття симетрії сходять до древніх, нам доведеться почати з цього далекого часу. Більше 30 років тому найбільший сучасний кристалограф академік А. В. Кожухарів (1887-1970) у передмові до своєї книги «Симетрія» писав: «Вивчення археологічних пам'яток показує, що людство на зорі своєї культури мало уявлення про симетрії і здійснювало її в малюнку і в предметах побуту. Треба думати, що застосування симетрії в первісному виробництві визначалося як естетичними мотивами, але певною мірою і впевненістю людини в більшої придатності для практики правильних форм. Впевненість ця продовжує існувати і до цих пір, знаходячи собі відображення в багатьох областях людської діяльності: мистецтві, науці, техніці і т. д. »2. Хоча треба визнати, що за останні 30 років ця впевненість, особливо в архітектурі та мистецтві, захоплених асиметричними формами, сильно похитнулася.
Пізніше (у 1940-1943 рр..) Інший російський дослідник, учений ломоносовского складу, енциклопедист, великий організатор науки, останні 30 років свого життя віддав вивченню симетрії в природі, В. І. Вернадський (1863-1945), у своєму рукописі «Хімічне будова біосфери Землі і її оточення », уточнюючи думки А. В. Шубнікова, писав:« ... почуття симетрії і реальне прагнення його виразити в побуті і в житті існувало в людстві з палеоліту або навіть з еоліта, тобто з найтриваліших періодів в доісторії людства (кінчаючи шелейскім і ашелейскім періодом його історії 3), який тривав для палеоліту близько півмільйона років-від 650000 до 150000 років тому, а для еоліта-мільйони років. Це почуття і пов'язана з ним робота, ще різко і інтенсивно міняючись, давалися взнаки і в неоліті 25 000 років тому. Це уявлення про симетрії слагалось протягом десятків, сотень, тисяч поколінь. Правильність його перевірена колективним реальним досвідом і спостереженням, побутом людства в найрізноманітніших природних земних умовах. Цей досвід багатьох тисяч поколінь ясно вказує на глибоку емпіричну основу цього поняття і її існування в тій матеріальної середовищі, в якій жив чоловік, в біосфері. Не можна забувати при цьому, що симетрія ясно представляється в будові людського тіла, у формі площин симетрії і дзеркальних площин симетрії: у правих і лівих кистях рук, в ступнях ніг і т. д. Вона ж проявляється в гармонії людських рухів, як танцях, так і в технічній роботі, де проявляється геометрична закономірність. Переходячи до історичного часу, ми бачимо, що поняття «симетрія» зросла на вивченні живих організмів і живої речовини, в першу чергу людини. Саме поняття, пов'язане з поняттям краси або гармонії, було дано великими грецькими скульпторами, і слово «симетрія», цьому явищу відповідає, приписується скульпторові Піфагору з Регіума (Південна Італія, тоді Велика Греція), що жив у V ст. до нашої ери».
Вдумуючись в ці думки В. І. Вернадського, не можна не відзначити матеріалістичного пояснення їм походження цього поняття і глибокого співзвуччя його ідей наступним зауваженням В. І. Леніна: «... Практика людини, мільярди разів повторюючись, закріплюється у свідомості людини фігурами логіки. Фігури ці мають міцність забобону, аксіоматичний характер саме (і тільки) в силу цього мільярдного повторення » 5. Звідси ми маємо право укласти, що не тільки форми силогізму, а й будь-які по-справжньому серйозні, фундаментальні категорії, поняття закріплювалися в голові людини однаковим чином - через багаторазові відображення відповідних об'єктів і багаторазову перевірку істинності суб'єктивних образів «колективним реальним досвідом і спостереженням». Зі сказаного видно, що до часу Піфагора і піфагорійців поняття симетрії було оформлено досить чітко. Не дивно тому, що вже в той час вони змогли піддати його серйозного розгорнутому аналізу і отримати результати неминущого значення. Відзначимо деякі з них.
Перше. Слово виражало у них однорідне, розмірне, пропорційне, гармонійне в об'єкті, розумілося як «той спосіб узгодження багатьох частин, за допомогою якого вони об'єднуються в ціле» 6 .. Друге. Піфагорійці виділили 10 пар протилежностей, серед них праве (D) і ліве (L). Третє. «Бог, - вчили піфагорійці, - поклав числа в основу світового порядку. Бог - це єдність, а світ - безліч і складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових відносинах ... Блаженство є знання досконалості чисел душі».
Четверте. Відповідно до Аристотеля, головне у піфагорійців полягає в тому, що число є сутність усіх речей, і організація Всесвіту в її визначеннях являє собою взагалі гармонійну систему чисел і їх відносин. Не можна не здивуватися дивовижною глибині й сміливості цих тверджень. Почнемо з першого. Про те, наскільки вірно піфагорійці розуміли симетрію, можна судити хоча б по тому, що ними схоплені дійсно важливі сторони симетрії, і насамперед рівність, одноманітність і пропорційність: одноманітно (в сенсі підпорядкування якої-небудь математичної закономірності) розташовуючи рівні частини, наприклад 4 рівнобедрених трикутника, можна побудувати симетричну фігуру, скажімо квадрат. Якщо ж порушити прийнятий закон одноманітності в розташуванні рівнобедрених трикутників, то ми отримаємо вже менш симетричну, в межі асиметричну фігуру. Саме виходячи з понять одноманітність »,« рівність »,« частина », А. В. Кожухарів підводить читача до першого розуміння симетрії, але поки не дає її остаточного визначення 9. Важливість другого положення двояка. По-перше, поняття правого і лівого в теорії симетрії мають фундаментальне значення: а) користуючисьD і L асиметричними зразковими фігурами, наприклад комами, неправильними трикутниками, тетраедрами, і «намножуючи» їх відповідними елементами симетрії, можна побудувати теорію симетрії будь-якого вимірювання. Сама ж теорія симетрії з цієї точки зору постає як вчення про симетрії специфічних протилежностей - D і L; б) вивчення природи з точки зору D і L в подальшому призвело до однієї з найважливіших проблем природознавства - до проблеми правизни і лівизни (детальніше про це див в розділі 6). По-друге, через нього увійшли значущі для філософії протилежності - праве і ліве, характерні для всіх просторових, просторово представимих об'єктів, оскільки вони або D, або D, або DL10. Тепер ми з метою концентрації уваги на позитивних сторонах вчення пнфагорейцев відкинемо як невірне з їх вчення містику, бога, тенденцію до ототожнення речей з числом, так як відомо, що речам властива не тільки кількісна, але і якісна (не обов'язково числовий природи) визначеність; замінимо в цьому вченні слово «гармонія» словом «симетрія» 11 і потім знову прочитаємо наведені вище пропозиції. Тоді не можна буде не відзначити їх: Диалектичность і сучасність: «світ - безліч і складається з протилежностей»; «те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі», є симетрія; симетрія «полягає в числових (а ми сказали б - в математичних. - Ю. У.) відносинах ». Зараз створено кілька теорій симетрії протилежностей. Одна з них, Хееша-Шубникова, так і називається - «теорія Глибину:" число є сутність усіх речей, і організація Всесвіту в її визначеннях являє собою взагалі симметрическую систему чисел і їх відносин ». Цей висновок піфагорійців, прокоментовані у свій час Аристотелем, прямував з встановлення ними того факту, що закони природи можуть бути виражені числами. Зараз, коли математику свідомо і не без труднощів впроваджують - внаслідок внутрішньої логіки розвитку науки і суспільної практики - в самі різні природні і суспільні дисципліни, говорити про колосальну важливість математики для пізнання матерії не має сенсу. Проте ось парадокс: те, що було дві з половиною тисячі років тому ясно вже піфагорійцям, зовсім недавно відкидалося деякими фахівцями з біології! На жаль, окремі вчені не приймають це і донині.
Іноді подібний нігілізм проявляється більш тонко. Окремі фахівці - філософи і нефілософи, справедливо відкидаючи ототожнення речей з числом, в той же час не дають позитивного вирішення проблеми. Тим часом числа виступають на найбільш «гарячих» точках науки: то при вивченні розподілу планет в Сонячній системі, то при поясненні сутності коду спадковості, то при виведенні фундаментальних інваріантів в теоретичній фізиці, то при поясненні періодичної природи музичного ряду і ряду Менделєєва 12. Нескінченно різноманітний світ чисел висловлює важливі особливості нескінченно різноманітного світу речей та ідей. Але які саме? І чому дуже часто числа сигналізують про фундаментальні сторонах буття? Безумовно, Піфагор був не правий, коли ототожнював світ речей зі світом чисел, однак він зумів намацати в світі речей світ чисел, тобто щось дійсно фундаментальне і справді досі! - Загадкове. У цьому зв'язку, природно, стають вкрай бажаними діалектико-матеріалістичні дослідження проблем, поставлених Піфагором, - природи чисел і виду, способів зв'язків світу чисел з світом речей.
Математичний настрій піфагорійців привів їх до ретельним дослідженням числових відносин. Це зрозуміло. Однак часом ці дослідження приводили їх до містики, «священним» числам і до надмірних перебільшень кшталт «все є число» і т. п. Так, непарні, починаючи е трійки, і парні, починаючи з двійки, числа вони вважали відповідно чоловічими і жіночими . Число 5, що є сумою першого жіночого (2) та першого чоловічого (3) чисел, вважалось тому ними символом шлюбу. Крім того, воно втілювало в собі одночасно як асиметричне (5 = 2 +3), так і симетрична початок, оскільки та ж п'ятірка дорівнює 2 + 1 +2. П'ятірка ж лежала в основі пентаграми - п'ятикутної зірки, яка в свою чергу втілювала в собі поділ відрізка в середньому і крайньому відносинах - золоту пропорцію (про це мова буде нижче). Відомо, що у піфагорійців п'ятикутна зірка вважалася знаком приналежності до пифагорейскому союзу. Вона була символом «евфоріі», або життя і здоров'я. Символами справедливості і рівності в піфагорійців були «квадратні» числа: число, помножене на рівне собі. Число 6 уособлювало досконалість, бо воно дорівнює сумі всіх його дільників: 6 = 1 +2 +3. Число 28 і деякі інші також вважалися досконалими: 28 = 1 +2 +4 +7 + 14.
Піфагорійці вчили і про «дружніх» парах чисел типу 220 в 284: у таких чисел сума дільників першого дорівнює другому числу, а сума дільників другого - першому. Дійсно, подільники 220 суть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а подільники 284 суть 1, 2, 4, 71, 142; 220 = 1 +2 +4 +71 +142, 284 = 1 +2 +4 +5 +10 +11 +20 +22 +44 +55 +110. Згодом арабський учений Табіт-ібн-Курра дав загальні формули для визначення пар дружніх чисел. Символом гармонії було число 10: будучи нової лічильної одиницею, десятка гармонійно пов'язувала наступні числа з попередніми. Священними вважалися числа 4 і особливо 36. Четвірка «таємно» містила в собі десятку, бо будучи складена з меншими числами 1, 2, 3 давала 10. Число 36 дорівнює сумі перших чотирьох парних і перших чотирьох непарних: 36 = 2 +4 +6 +8 +1 +3 +5 +7. Клятва цим числом у піфагорійців вважалася найстрашнішою. Незважаючи на всі перебільшення, містицизм, ідеї піфагорійців про важливість природи чисел самих по собі, про їх значення для розуміння природи речей і законів, ними керуючих, дозволили їм отримати і ряд результатів неминущого значення. Крім початків теорії чисел достатньо в цьому зв'язку назвати знамениту теорему Піфагора цей древній еквівалент сучасного чотиривимірного інтервалу Маньківського - інваріанта лоренцевих перетворень; вчення про музичної гармонії і, нарешті, вчення про золотий переріз.

СИМЕТРІЯ ПІФАГОРA

Піфагор показав, що відрізок одиничної довжини АВ можна розділити на дві частини так, що ставлення більшої частини (АС = х) до меншої (СВ = 1 - х) буде дорівнювати відношенню всього відрізка (АВ = 1) до більшої частини (АС): , Т. е. Звідси х 2 = 1 - х. Позитивним коренем цього рівняння є , Так що відносини у наведеній пропорції рівні: = Ф = 1,618033989 ... кожне. Такий поділ (точкою С) Піфагор називав золотим поділом, або золотий пропорцією, а Леонардо да Вінчі - загальноприйнятим зараз терміном золотий перетин. Згодом вчення про золотий переріз отримало широке застосування в математиці, естетиці, ботаніки, техніці 13. Тут ми зупинимося на зв'язку золотого перетину лише з симетрією. Ще Піфагор і піфагорійці використовували золотий перетин для побудови принаймні деяких з п'яти правильних багатогранників - тетраедра, куба, октаедра, додекаедра, ікосаедра, що володіють досконалою симетрією і одержали згодом назву Платонових тіл. На ім'я ж Платона вони були названі тому, що У своєму «Тимеї» Платон стихії землі, вогню, повітря, води, Всесвіту абсолютно довільно ототожнив відповідно з кубом, тетраедром, октаедром, Ікосаедр, додекаедрів 14. Евклід у III ст. до н. е.. використовує слідом за піфагорійцями золоту пропорцію у своїх "Засадах" 15 для побудови правильних (золотих) п'ятикутників, діагоналі яких утворюють пентаграму. У 1202 р. вийшов у світ твір «Liber abacci» («Книга про абаці») 16 знаменитого італійського математика Леонардо з Пізи, відомого більше як Фібоначчі (Fibonacci - скорочене від filius Bonaccii - син добродушного). У ньому вирішуючи завдання про кроликів, отримує наступну чудову послідовність чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ... Фібоначчі зазначив, що відкрита ним послідовність чисел при j> 2 задається формулою f j = f j-1 + f j-2, де f j - j-й член ряду. І. Кеплер (1571-1630) помітив, що f j / f j +1? 1 / Ф при зростанні j. Через 100 років Р. Сімпсон (1687-1768) суворо довів, що lim f j +1 / f j = Ф.Лише в 1843 р., тобто через 641 рік після відкриття зазначеній послідовності чисел, Ж. Біне знайшов формулу для j-го її члена: f j ∙ Далі було виявлено, що застосовувана в ботаніці для опису видів гвинтового розташування листя на пагоні послідовність дробів. Cкладена з чисел ряду Фібоначчі, по-друге, побудована так, що чисельник і знаменник будь дробу ряду, починаючи з третьої, рівні сумі числителей і знаменників двох попередніх дробів, по-третє, прагне до межі 0,38197 ... = по-четверте, фактично позначає послідовність видів гвинтових осей симетрії, застосовуваних у теорії структурної симетрії для опису симетрії, нескінченних фігур. Крім того, виявилося, що застосовувана в ботаніці ж для опису вже спірального розташування сім'янок в голівках соняшнику або лусок в шишках соснових послідовність дробів По-перше, також складена з чисел ряду Фібоначчі, по-друге, побудована так само, як і попередній ряд, тільки тут знаменник однієї дробу дорівнює чисельника інший дробу, наступної за нею безпосередньо, по-третє, прагне до межі 0,61803 ... = F j/ F j +1 = 1 / Ф = Ф -1, причому 0,61803 = 1 - 0,38197 і , Тобто золотому перетину одиничного відрізка, по-четверте, фактично позначає також послідовність видів гвинтових осей симетрії. Отже, ми знову прийшли до симетрії. Однак до неї можна прийти, використовуючи золотий перетин, й інакше. Оскільки це важливо, вкажемо ще на два особливо вражаючих підходу. Виявилося, що в геометричній; прогресії виду 1, Ф, Ф 2, Ф 3,..., Ф n будь-який член ряду, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх членів. Іншими словами, вона виявляється одночасно мультиплікативної і адитивної, оскільки ця прогресія одночасно геометрична і арифметична. Число Ф тут, таким чином, -. Природна інваріанта перетворень симетрії, реалізованої на даній прогресії. «Пеано, Рассел і кутюр'є показали, що виходячи з принципу тотожності можна вивести з цих відносин і груп принципи чистої математики» 17. Нарешті, в самий останній час московський композитор і дослідник гармонії М. А. Марутаев відкрив ще одну зв'язок числа Ф = 1,618 ... з симетрією. Останнє йому вдалося зробити завдяки вперше розвиненою їм оригінальної теорії якісної симетрії чисел 18. М. А. Марутаев, зокрема, довів наступне. 1. Зв'язок Ф з числами, наведеними нижче і пов'язаними з Ф перетвореннями якісної симетрії. Це означає, що золотий перетин може виражатися не тільки числами 0,618, 0,382 і 1,618 (як прийнято), але і всіма іншими тут наведеними. Причому всі 14 a i-х чисел можуть бути отримані за допомогою формули a i = a k i ∙ a ni, де a = 1,236, 1 = +1, +2, ..., +7, -1, -2, ..., -7; I = + 1 або -1, чергуючись у кожному наступному діапазоні, так що для діапазону +1 k = +1, а для діапазону + 2 k = -1, -2 k = + 1 і т. д.; n - ціле, мінливий через діапазон на одиницю, причому для позитивних діапазонів п = 0, 1, 2, 3, а для негативних - п = 0, -1, -2, -3, і п = 0 для діапазонів +1, -1. Нарешті, обмеження якісної симетрії 7 позитивними і 7 негативними діапазонами викликано прийнятими в теорії якісної симетрії передумовами. 2. Зв'язок Ф з числом 137, доводити за допомогою наступних перетворень. Нагадаємо, що число 137 = 1,37 ∙ 10 лютого вsводітся з фундаментальних констант природи - заряду електрона (е). постійної Планка (h), швидкості світла (с): 1,37 ∙ 10 2 == ħс / е 2, ħ = h / 2?. При цьому знаменно, що число 137 грає фундаментальну роль не тільки у фізиці (що загальновідомо), але і в музиці (що не було відомо), де воно є основним числом темперованого ладу і проявляється в структурі ряду музичних форм. І це, звичайно, не випадково, враховуючи зв'язок числа 137 з золотим перетином, а тим самим і з вельми широким колом явищ. 3. Зв'язок Ф з числом 0,417, доводиться тим, що Ф == 10 ∙ (0,417 ∙ 2) 10. При цьому чудово, що відношення сили електричного відштовхування до сили гравітаційного тяжіння двох електронів одно 0,417 ∙ 10 43, а значення мінорній терції 5/6 = 0,833 == 0,417 ∙ 2. З усього сказаного для нас важливо те, що золота пропорція Піфагора виявилася пов'язаною з дійсно фундаментальними проблемами науки. Крізь роки і століття вона привела не тільки до структурної, а й до геометричної і динамічної симетрії.

Список літератури

1. Ю. А. Урманцев, Ю. П. Трусов. Про специфіку просторових форм і відносин у живій природі. - «Питання філософії», 1958, № 6; Ю. А. Урманцев. Про філософському і природничо значенні деяких проявів правизни і лівизни. - «Про сутність життя». М., 1964.
2.«Симетрія в природі». М., 1971; А. Г. Волохонський. Про формальній структурі генетичного коду. - «Сучасні проблеми цитології і генетики» № 6. Новосибірськ, 1971; Р. Фейнман. Характер фізичних законів. М., 1968; М. А. Марутаев. Про гармонію як закономірності. М., 1972.
3. В. С. Готт, А. Ф. Перетуран. Симетрія і асиметрія як категорії пізнання. - «Симетрія, інваріантність, структура», стор 13.
4. М. А. Марутаев. Про гармонію як Закономірності; див. також: В. Ю. Дельсон. Закономірності універсальної гармонії. - «Радянська музика», 1969, № 12.