Числа Фібоначчі на уроках математики

Материал из ЗапоВики
Перейти к: навигация, поиск

Числа Фібоначчі на уроках математики

Автор

Грицаєнко Наталія Василівна

Навчальний заклад

КЗ "Нестерянська СР ЗОШ І-ІІІ ступенів"

Оріхівський район


Числа Фібоначчі виросли із відомої задачі про кроликів. Вони мають семисотп'ятидесятилітній вік, але до наших днів залишаються однією з найцікавіших частин елементарної математики. Числа Фібоначчі – елементи числової послідовності, в якій кожен наступний член дорівнює сумі двох попередніх. Рекурентно ця послідовність задана такими співвідношеннями:

Формула123.JPEG

В шкільній математиці числа Фібоначчі зустрічаються в курсі алгебри 9 класу при вивченні теми «Числові послідовності» в рубриці «Коли зроблено уроки». Тут наведено формулу п-ного члена послідовності Фібоначчі.


Формула 12345.JPEG

В даній статті пропонуються деякі вправи на використання властивостей ряду Фібоначчі.

5 клас:

1. Продовжити ряд чисел

1;1;2;3;5;8;13…

2.Заповнити пропущені місця в записаному ряду чисел

1;1;2;3;…;8;13;…34…89;144;…

3.Математична гра.

Поділити дітей на дві групи. Кожна група одержує картки з надрукованими цифрами та надрукованому на окремому аркуші означенні ряду чисел Фібоначчі. Група повинна зрозуміти як записується даний ряд чисел та побудувати його. Перемагає та група, яка створила з даних цифр більше чисел Фібоначчі.

6 клас. Тема «Раціональні числа».

1. Знайти частки від ділення кожного наступного числа Фібоначчі на попереднє. Всі частки округлити до десятих. Зробити висновок.

Розв’язування.

Маємо ряд чисел

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 2584; 4181; 6765… Знаходимо частки від ділення кожного наступного числа на попереднє, округляємо до десятих, одержуємо:

1,0; 2,0; 1,5; 1,7; 1,6; 1,6;...

Приходимо до висновку, що вже на шостому кроці частки від ділення починають повторюватися.

2.Знайти частки від ділення кожного попереднього числа Фібоначчі на кожне наступне. Всі частки округлити до десятих, зробити висновок.

Розв’язування.

При діленні кожного попереднього числа Фібоначчі на наступне, округливши до десятих, одержуємо частки

1,0; 0,5; 0,7, 0,6; 0,6; 0,6…

Висновок:

Частки від ділення знову повторюються, але тепер вони інші, хоч дещо спільне в результатах першої та другої задач є, зокрема, ці числа мають одну й ту ж дробову частину.

3.Використовуючи результати попередніх задач скласти пропорції. Пропорція може бути такою Рисунок123.JPEG

Далі робимо висновок: чим більші числа ми використовуємо, тим менше будуть відрізнятися відношення в складених пропорціях

4. Розглянути частки від ділення чисел, які стоять через одне, тобто

Рисунок128.JPEG

Зробити висновок. Дані частки від ділення корисно розглянути при вивченні теми «Поняття границі функції в точці» в 11класі. Для спрощення обчислень використати таблицю Excel.

5. Обчислити значення квадратів кожного числа ряду Фібоначчі та порівняти його з добутком сусідніх з ним чисел.

При розв’язуванні задачі учні одержують таку цікаву закономірність. 12 < 1•2=2

22 =4 > 1•3=3

32 =9 < 2•5=10

52 =25 > 3•8=24

82 =64 < 5•13=65

132 =169 > 8•21=168

212 =441 < 13•34=442

342 =1156 > 55•21=1151

Тобто знаки < і > чергуються

Під час вивчення тем «Ділення з остачею» та «Дільники та кратні» знаходимо закономірність зміни остач від ділення чисел Фібоначчі на натуральні числа. Виявляється, що ці остачі легко передбачити. Наприклад:

Закономірність, в якій змінюються остачі від ділення чисел Фібоначчі на

1) 2, одержуємо 1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0…

2) 3, одержуємо1;1;2;0;1;1;2;0;1;1;2;0…..

3) 4, одержуємо 1;1;2;3;1;0;1;1;2;3;1;0;1;1;2;3;1;0…

4) 5, одержуємо1;1;2;3;0;3;3;1;4;0;4;4;3;2;0;2;2;4;1;0;1;1;2;3,0

5) 6 одержуємо 1;1;2;3;5;2;1;3;4;1;5;0 5;5;4;3;1,4;5;3;2;5;1;0

І так далі. Звертаємо увагу шестикласників на той факт, що сума двох попередніх остач дорівнює наступній. Розглядаючи послідовності остач зрозуміло, що кожне третє число парне, кожне четверте кратне 3, кожне шосте кратне 4, кожне п’яте кратне 5, кожне дванадцяте кратне 6. Можна розглянути такі задачі

1.Кожне третє число Фібонначі ділиться на 2, кожне п’яте число Фібоначчі ділиться на 5 . Що можна сказати про числа Фібоначчі, які діляться на 10?

2.Числа Фібоначчі кратні числу 12, яким числам кратні номери місць таких чисел?

При вивченні теми «Числові послідовності» в 9 класі розглядаємо такі задачі:

1.Записати перші п членів послідовності чисел Фібонначі Вказати скінченною чи нескінченною є дана послідовність.

а1=1 а2=1 аnn-2n-1.

2. Знайти другий, п’ятий, одинадцятий члени послідовності Фібоначчі.

3.На якому місці стоїть число 34 в послідовності Фібоначчі?

Таким чином, навкруги нас легко знайти безліч ситуацій, які можуть послужити поштовхом до глибоких міркувань, досліджень та висновків. І можливо для когось такі задачі дадуть змогу розширити математичний світогляд.