Просмотр исходного текста страницы Конспект уроку з геометрії в 11 класі "Декартові координати у просторі. Розв’язування задач."

{| cellpadding="15" cellspacing="5" style="width: 100%; background-color: inherit; margin-left: auto; margin-right: auto"
| style="width: 50%; background-color: #fed; border: 2px solid #FF9900; vertical-align: bottom; -moz-border-radius-topleft: 8px; -moz-border-radius-bottomleft: 8px; -moz-border-radius-topright: 8px; -moz-border-radius-bottomright: 8px;" rowspan="2" |
Увага! Категорично заборонено використовувати цей матеріал на інших інтернет-порталах і в засобах масової інформації без письмового дозволу автора. Дозволяється, з метою навчання, використовувати елементи розробки з обов'язковим посиланням на дану сторінку.
|}

[[Файл:Пересипкіна.jpg|250px|мини|справа]]

== Конспект уроку з геометрії для учнів 11 класу ==
=== вчителя математики ДНЗ «Михайлівське ВПУ» Запорізької області Пересипкіної Олени Валентинівни ===
 
==== Тема  уроку.  Декартові координати у просторі. Розв’язування задач. ==== 
===== Мета: =====
навчальна:   узагальнити та систематизувати знання учнів про координати у просторі, формувати вміння учнів застосовувати вивчений матеріал до розв’язування задач. 
<br />
розвивальна:  розвивати  логічне мислення, просторову уяву, розумову активність і пізнавальну самостійність учнів, вміння лаконічно та математично грамотно висловлювати свою думку і коментувати виконання завдань. 
<br />
виховна:   виховувати спостережливість, увагу, працьовитість та ініціативність, відповідальність, уміння співпрацювати з товаришами.
===== Тип уроку.  Урок узагальнення та систематизації знань,  умінь та навичок =====
===== Обладнання:мультимедійний комплекс, добірки задач  з теми: «Декартові координати у просторі» =====
===== Хід уроку =====
===== І     Організаційний  момент  (1 хв). =====
 Доклади серця свого до навчання і вуха свої до розумних слів.          Притчі Соломона 23:12
<br />
Привітання та перевірка наявності учнів.

===== ІІ   Повідомлення теми, мети й  завдань уроку   (1 хв). =====
===== ІІІ  Актуалізація  опорних знань, умінь і навичок   (10 хв). =====

 Ми повинні знати – ми будемо  знати.   Д.Гільберт
<br />

'''Інтерактивний метод «Мікрофон»'''
<br />

1.	Заповніть пропуски
<br />
•	Три попарно перпендикулярні прямі  х,  у,  z , які перетинаються в точці О  називаються   …   осями.
<br />
•	Вісь х називається віссю   … , вісь у  називається  віссю  …  , вісь  z називається віссю   …  .
<br />
•	Точка  О  - …  .
<br />
•	Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі  -  … , позначену стрілкою, і  …  .
<br />
•	Площини ху, хz,  уz  називають  …  площинами.
<br />
•	…  точки записуватимемо  в дужках поряд із позначенням точки  
А (х; у; z; ).
<br />
•	Точки на осі х мають координати ( … ).
<br />
•	Точки на осі у мають координати ( … ).
<br />
•	Точки на осі z мають координати  ( … ).
<br />
•	 Точки площини  ху мають координати  ( … )
<br />
•	 Точки площини  уz   мають координати  ( … )
<br />
•	Точки площини  хz мають координати  ( … )
<br />
2.	Сторона куба  дорівнює 10.  Знайдіть координати його вершин. На дошці малюнок куба і система координат з початком в точці O.  Переміщуючи початок координат в іншу вершину, розглянути варіанти знаходження координат вершин куба. <br>
[[Файл:Куб.jpg]]
<br />
3.	Як  знайти координати середини відрізка, заданого в просторі? 
<br />
4.	Як знайти відстань між двома точками простору? 
<br />
5.	Заповнити таблицю.
<br />
Таблиця1 <br>
[[Файл:Таблица1.jpg|500px]]  <br />
6.	Планіметричний матеріал: 
<br />
•	види трикутників за сторонами, за кутами;
<br />
•	види чотирикутників;
<br />
•	ознаки паралелограма, прямокутника, ромба;
<br />
•	центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника.

===== ІV.  Узагальнення знань, умінь і навичок учнів  (18 хв) ===== 
<br />

 Щоб перетравити знання,потрібно поглинати їх з апетитом.   Анатоль Франс
<br />

Вчитель. На попередніх уроках ми  з вами ознайомилися з декартовими координатами у просторі і побачили, що при розв’язуванні різних видів завдань, створюються  певні алгоритми.  Розглянемо і проаналізуємо  таблицю 2.  
<br />
Таблиця 2 <br />
[[Файл:Таблиця2.JPG|550px]] <br />

===== Розв’язування задач. =====
Колективне і коментоване  розв’язування задач.
<br />
Вчитель:  У вас на столах розкладені добірки задач з теми «Декартові координати у просторі» ,  де задачі систематизовані по  блокам. 
<br />

===== Блок А. =====
 Довести, що  чотирикутник АBCD: є паралелограмом;  є ромбом;  є прямокутником.
<br />
===== Блок Б. =====
  Довести, що трикутник АBC: є правильним;  є рівнобедреним; є прямокутним  різностороннім; є прямокутним рівнобедреним.
<br />
===== Блок В. =====
  Знайти елементи трикутника, чотирикутника (координати вершини, довжину медіани, довжину діагоналі).
<br />
===== Блок Г. =====
   Знайти координати точок, симетричних відносно координатних прямих, координатних площин, початку координат.
<br />
===== Блок Д. =====
  Знайти координати точки, рівновіддаленої від  заданих точок. 
<br />
Задача (блок А). Доведіть, що чотирикутник   АBCD є прямокутником, якщо А (5; -3; 2) , В(9;-1; 3), С (12; -5; -1),  D(8; -7; -2). 
<br />
Розв’язання
<br />
Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником (ознака прямокутника). Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то  цей чотирикутник – паралелограм. 
<br />
Отже, щоб довести, що чотирикутник АBCD , заданий координатами вершин, є прямокутником, треба:
<br />
-	перевірити, що діагоналі точкою перетину діляться навпіл (тобто координати середини діагоналей однакові);
<br />
-	перевірити, що діагоналі рівні.
<br />
Знайдемо координати середини  діагоналі АС точки О за формулами
<br />
[[Файл:Формула1.JPG|350px]] <br />
<br />
Знайдемо координати середини діагоналі BD точки О <br />
[[Файл:Формула2.JPG|250px]] <br />
Координати середини діагоналей   BD і АС однакові.  Отже,  АBCD  - паралелограм. Тепер доведемо, що паралелограм АBCD є прямокутником. Перевіримо рівність діагоналей BD і АС. Знайдемо довжину  
діагоналі АС за формулою:
<br />
[[Файл:Формула3.JPG|400px]]<br />
<br />
Знайдемо довжину діагоналі BD. <br />
[[Файл:Формула4.JPG|450px]] <br /> 
АBCD -  паралелограм з рівними діагоналями, отже АBCD – прямокутник.<br />
<br />
Задача (блок Г).  Точка М (2; 8; 5) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі ОZ і в площині  ХУ. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
<br />
Розв’язання
<br />
Нехай  точка М (2; 8; 5) – середина відрізка АВ. За умовою точка А знаходиться на осі OZ, отже її координати А (0; 0; z).  Точка В знаходиться в площині  ХУ, отже її координати В (х; у; 0). 
<br />
За формулами координат середини відрізка: <br /> 
[[Файл:Формула5.JPG|250px]]
<br />
Отже, координати кінців відрізка  АВ:     А (0; 0; 10),  В (4;16;0). 
Знайдемо довжину відрізка АВ за формулою: 
<br />
[[Файл:Формула6.JPG|500px]]<br />
<br />
Задача  (блок Д). Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А (6; -3; 2) і В (2; 4; -1).
<br />
Розв’язання
<br />
Нехай точка Х лежить на осі z, отже  її координати Х (0; 0; z). За умовою точка Х  рівновіддалена від точок А і В, отже <br />   [[Файл:Формула7.JPG|75px]]<br /> 
Знайдемо довжину відрізка АХ за формулою: <br />
[[Файл:Формула8.JPG|500px]]<br />
Прирівнюємо: <br />
[[Файл:Формула9.JPG|350px]]<br /> 
[[Файл:Формула10.JPG|200px]]  <br />

===== Тест (для групи електриків) (8 хв). =====
<br />
Вчитель:  Виберіть букву, що відповідає правильній відповіді. З отриманих букв складіть  слово (закодоване слово: напруженість, що значає векторну силову характеристику електричного поля у відповідній точці). 
<br />
1.  Точки А і В задано координатами. Зазначте випадок, коли середина відрізка  АВ лежить на площині ху.
  
{| class="wikitable"
|-
| Н || І ||Е || Р
|-
| А(1; 2; 4) || А(2; 5; 6)|| А(0; 6; -8) ||А( 0; -12; 0)
|-
| В(3; 2; -4) || В(2; 3; 2) || В(2; 0; 4) || В(10; 12; 4)
|}
 
2.  Яка з точок М є серединою відрізка АВ, якщо А (1; -1; -1), В(1; -1; 1)?

{| class="wikitable"
|-
| Т || А || Н || П
|-
| М(2; -2; 0) || М(1; -1; 0) || М(-1; 1; 1) ||інша<br /> відповідь
|}

3.   Точка В, що лежить на від’ємній півосі у на 5 одиниць від точки О має координати: 

{| class="wikitable"
|-
| А||У ||П || Р
|-
| (0; 5; 0)||(0; 0; -5) || (0; -5; 0) || (5; 0; 0)
|}

4.  Задано точку А (-1; 2; 3). Укажіть координати точки, симетричної точці А відносно площини ху. 

{| class="wikitable"
|-
| Р ||Н || Ж || С
|-
|(-1; 2; -3) || (-1; -2; 3) || (1; 2; 3) || (1; -2; -3)
|}

5.   Дано точку Р(-1; 3; 5). Знайдіть координати точки, симетричної точці Р відносно координатної площини yz. 

{| class="wikitable"
|-
| У ||А || Р || П
|-
| (1; 3; 5) || (-1; -3; 5) || (-1; 3; -5)||(1; -3; -5)
|}

6.    У просторі задані точки А(2; 3; -5) і М(1; -1; 2). Знайдіть координати точки , яка симетрична точці А відносно точки М. 

{| class="wikitable"
|-
| А || І|| Н || Ж
|-
| (-2; -3; 5)|| (3; 2; -3)|| (1; 4; -7) ||(0; -5; 9)
|}

7.   Яка з даних точок симетрична  відносно початку координат точці А (2; -1; 6)?

{| class="wikitable"
|-
|А || І || Е ||Т
|-
| (-2; -1; 6)|| (2; 1; 6) || (-2; 1; -6) || інша<br /> відповідь
|}

8.   Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е(-3; 8; 7) і F(-9; 6; 1).

{| class="wikitable"
|-
| Н || А || Т ||С
|-
| (-6; 7; 4)||(-12; 14; 8)|| (0; 0; 0)|| (3; 1; 3)
|}

9.   Точка С, що лежить на додатній півосі z на відстані 4 одиниці від точки О має координати: 

{| class="wikitable"
|-
| А || І || Р || Ж
|-
| (0; 0; -4) || (0; 0; 4)и || (0; 4; 0) || (-4; 0; 0)
|}

10.   Якій координатній площині належить точка А (4; 0; 2)?
{| class="wikitable"
|-
|  Ж || Е || С ||Т
|-
| ху || yz||xz || інша<br /> відповідь
|}

11   Знайти  відстань від точки А (1; 2; 3) до координатної площини ху. 

{| class="wikitable"
|-
| А|| Н|| Т || У
|-
| 1 ||2 || 3 || інша<br /> відповідь
|}

12   Дано відрізок АВ і точка С – його середина. Знайдіть координати точки В , якщо А(2; 3; -1), С(1; 1; 1). 

{| class="wikitable"
|-
| Ь|| Н ||Ж || С
|-
| (0; -1; 3) || (1,5; 2; 0) || (1; 2; -2)|| (2; 1; 0)
|}

===== V.  Підсумок  уроку(5 хв). =====
<br />
 Те,що я встиг пізнати,- чудово. Сподіваюся, таке ж чудове те, що мені ще доведеться пізнати.        Сократ 
<br />

Вчитель:  Ми завершили вивчення невеликої за обсягом, але не за її  значенням у математиці теми «Декартові координати у  просторі». Рене Декарт   примусив  алгебру працювати на  геометрію і навпаки. <br />
Ввівши систему координат, він поєднав ці дві науки. Тільки  вісім математичних понять пов’язано з ім’ям Декарта, але й одного з них – декартової геометрії достатньо, щоб назавжди його ім’я лишилося <br />
серед найвидатніших творців математики.
===== Запитання =====
<br />
	Я задоволений (не задоволений) результатом власної діяльності на уроці,тому що… .
	<br />
На уроці найважливішим відкриттям для мене було… .
<br />
	Мої враження після уроку такі… ..
===== VІ.  Домашнє завдання (2 хв). =====
<br />
Повторити §4, п. 23- п 30; задачі №  ( добірка задач).
===== VІІ.  Література =====
	<br />
Бевз Г.П. Математика: 11кл. : підруч. для загальноосвітніх. нав.зак. : рівень  стандарту /Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.
	<br />
Захарійченко Ю.О. Повний курс математики в тестах / Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний . – Х.: Видавництво «Ранок», 2011. – 496с. – (Енциклопедія тестових завдань).

==== Добірка задач до теми ==== 
==== «Декартові координати у просторі» ====
===== Блок А. Довести, що  чотирикутник АBCD: є паралелограмом;  є ромбом;  є прямокутником. =====
<br />
# Доведіть, що чотирикутник АBCD – паралелограм, якщо А(3;  -1; -2), В(-5; 7; 4), С(1; 5; 2), D(9; -3; -4)
# Доведіть, що чотирикутник АBCD є ромбом, якщо А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4)
# Доведіть, що чотирикутник АBCD є ромбом, якщо А(2; 1; 2), В(0; 1; 6), С(-2; 5; 6), D(0; 5; 2)
# Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А(0; -6; 0), В(1; 0; 1), С(0; 0; 2), D(-1 -6; 1)
# Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А(0; -6; 0), В(1; 0; 1), С(0; 0; 2), D(-1 -6; 1)
# Доведіть, що чотирикутник АBCD з вершинами в точках А(-3; 2; 1), В(1; 1; 2), С(7; 20; -3), D(3; 21; -4) є прямокутником
# Доведіть, що точки   А(2; 4; -4), В(1; 1; -30), С(-2; 0; 5), D(-1; 3; 4) є вершинами паралелограма АBCD
# Доведіть, що точки   А(-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), С(4; 0; -10), D(2; -6; -8) є вершинами паралелограма АBCD
# Доведіть, що чотирикутник АBCD з вершинами в точках А(0; 2; 0), В(1; 0; 0), С(2; 0; 2), D(1; 2; 2) є ромбом
===== Блок Б.  Довести, що трикутник АBC: є правильним;  є рівнобедреним; є прямокутним  різностороннім; є прямокутним рівнобедреним. =====
<br />	
# Доведіть, що трикутник з вершинами  А(3; -2; 4), В(9; -4; 1), С(-3; 0; 7) є рівнобедреним.
# Визначити вид трикутника АВС, якщо А(7; 1; -7), В(0; 8; -7), С(0; 1; 0).
# Визначити вид трикутника АВС, якщо А(0; -10; -6), В(0; -8; -6), С(-1; -8; -5).
# Визначити вид трикутника АВС, якщо А(-5; 2; 1), В(-4; 2; 1), С(-5; 3; 1).
# Доведіть, що трикутник з вершинами А(7; 1; -5), В(4; -3; -4), С(1; 3; -1) є рівнобедреним.
# Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0) є прямокутний. 
# Доведіть, що трикутник з вершинами А(1; 0; 1), В(1; 1; 0), С(1; 1; 1) є прямокутний. 
# Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 1), В(-2; 1; 3), С(1; 3; -2)        є рівносторонній.
===== Блок В.  Знайти елементи трикутника, чотирикутника (координати вершини, довжину медіани, довжину діагоналі). =====
<br />
# Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(-3; 4; 5), В(-6; 2; 3),С(7; -2; 1). Знайти координати вершини D. 
# Точки М(3; -2; 1) і К(-1; 6; 3) – середини сторін АВ і ВС трикутника АВС відповідно. Знайдіть координати точок В і С, якщо А(5; -1; 1).
# Знайдіть довжину медіани трикутника АВС, проведеної до сторони ВС, якщо А(10; -11; 9),  В(2; -7; 6), С(6; -3; -2).
# Знайти координати вершини D паралелограма АВСD, якщо А(1; 3; 2),  В(0; 2; 4), С(1; 1; 4).
# Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(4; 2; -1), С(-4; 2; 1),D (7; -3; 4). Знайти координати вершини В. 
# Чотирикутник АBCD є паралелограмом. В(1; 1; -3),  С(-2; 0; 5), D (-1; 3; 4). Знайти координати вершини А. 
# Чотирикутник АBCD є паралелограмом. А(-4; -8; 8),  В(-2; -2; 6), D (2; -6; -8). Знайти координати вершини С. 
# Знайти довжину діагоналі ВD паралелограма АВСD, якщо А(1; -3; 0),  В(-2; 4; 1), С(-3; 1; 1). 
# Знайти довжину діагоналі АС паралелограма АВСD, якщо А(2; -6; 0),  В(-4; 8; 2), D(0; -12; 0).
# Знайти довжину медіани ВВ1 трикутника АВС з вершинами А(4; 0; -8),  В(2; 0; 3), С(16; 2; 8). 
# Дано вершини трикутника АВС: А(-2; 0; 1),  В(8; -4; 9), С(-1; 2; 3). Знайти довжину медіани трикутника, проведеної  із вершини С.
# Доведіть , що трикутник з вершинами А(2; 0; 5),  В(3; 4; 0), С(2; 4; 0) прямокутний.  Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника. 
===== Блок  Г.  Знайти координати точок, симетричних відносно координатних прямих координатних площин, початку координат. =====
<br />
# Кінці відрізка  А(5; -2; 1) і В (5; 3; 6). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини  хz. 
# Кінці відрізка  А(7; -3; 4) і В (6; 7; 8). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини  ху. 
# Точка М (2; 6; 3) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі х і в  площині уz. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка. 
# Точка М (2; 8; 5) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі z і в  площині ху. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
# Точки А( 3; -6; 2) і А1 симетричні відносно координатної площини уz. Знайдіть відстань АА1. 
# Точка  В1   симетрична точці В(3; -4; 7) відносно координатної площини хz. Знайдіть відстань ВВ1.
# Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно площини хz, якщо А(5; -2; 1), В(5; 3; 6).
# Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно площини ху, якщо А(8; -3; 4), В(8; 7; 8).
===== Блок Д.  Знайти координати точки, рівновіддаленої від  заданих точок. =====
<br />
# Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А(6; -3; 2) і В( 2; 4; -1). 
# Відстань між точками А(4; у; -2) і В(3; 2; -5) дорівнює √26.    Знайти значення у. 
# На осі  аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(-2; 3; 5) і С(3; -5; 1). 
# На осі абсцис знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(1; 2; 2) і С(-2; 1; 4).
# На осі ординат знайти точку С, рівновіддалену від точок А(-2; 3; 1)  і В( 1; 2; -4).
[[Категория:Сертифікат]]
[[Категория:Стаття]]