Методика решений тригонометрических неравенств

Методика решений тригонометрических неравенств.

Автор методики учитель математики Молочанской ЗОШ №1 Дробитько П.П., учитель высшей категории, старший учитель.

Решение тригонометрических неравенств вида: f(x)h(x)p(x)>0 или f(x)h(x)p(x)<0.

При решении неравенств, состоящих из произведения или частного нескольких функций обычно пользуются:

1) составлением нескольких систем неравенств;

2) применяют метод интервалов.

Но при решении тригонометрических неравенств, такого вида, удобнее всего прибегнуть к помощи числовых прямых. Для этого определяем промежутки , на которых все функции принимают значения одного знака, причем каждой функции соответствует только одна прямая и рассматриваем все функции на промежутке [-π;+π].

Для π берем отрезок с числом единиц масштаба равным общему знаменателю всех дробей, например:

№1

sin⁡2x∙cos⁡3x∙cos⁡x>0

sin⁡2x>0 2kπ<2x<π+2kπ, kπ<x<π/2+ kπ, кєZ;

cos⁡3x>0 - π/2 + 2kπ< 3x<π/2+ 2kπ, - π/6 + 2/3kπ< x<π/6+ 2/3kπ, кєZ;

cos⁡x>0 - π/2 + 2kπ< x<π/2+ 2kπ,кєZ.

Для π берем отрезок равный 6 единицам масштаба.

sin⁡2x>0 ___//////////////////_____,_____,_____///////////////////_____,_____,_____,_____ 
          -π               -π/2                0                π/2                π
cos⁡3x>0 ___,_____////////////_____,_____//////////////_____,_____////////////_____,_____ 
          -π  -5π/6        -π/2        -π/6    0    π/6         π/2        5π/6    π
cos⁡x>0  ___,_____,_____,_____////////////////////////////////////_____,_____,_____,_____ 
          -π               -π/2                0                π/2                π
            (+--)>0 (++-)<0      (--+)>0 (-++)<0(+++)>0 (+-+)<0      (-+-)>0

Теперь выписываем нужные промежутки

X ϵ (- π+ 2кπ; - (5π )/6 + 2кπ)∪(-π/2+ 2кπ; - π/6+ 2кπ) ∪(2кπ; π/6+ 2кπ)∪(π/2 + 2кπ; 5π/6+ 2кπ).

№2

sin⁡5х∙ cos⁡х>0

sin⁡5х>0 2kπ<5x<π+2kπ, 2kπ/5<x<π/5+2kπ/5, кєZ;

cos⁡х>0 - п/2 + 2kπ< x<π/2+ 2k,кєZ.

Для π берем отрезок равный 10 единицам масштаба.

sin⁡5x>0_____,__,__///////__,__///////__,__////////__,__///////__,__///////_____    
           -π  -4π/5 -3π/5 -2π/5 -π/5     0    π/5  2π/5   3π/5   4π/5    π
cos⁡x>0______,__,__,__,__,__///////////////////////////////___,___,__,__,__,_____ 
           -π            -π/2             0             π/2               π
            (--)>0 (-+)<0(--)>0(++)>0(-+)<0(++)>0(-+)<0 (+-)<0(--)>0(+-)<0

X ϵ (- π+ 2кπ; - (4π )/5 + 2кπ)∪(-3π/5+ 2кπ; - π/2+ 2кπ) ∪(-2π/5+ 2кπ; - π/5+ 2кπ) ∪(2кπ; π/5+ 2кπ)∪(2π/5 + 2кπ; π/2+ 2кπ)∪(3π/5 + 2кπ; 4π/5+ 2кπ),кєZ.

Категорія: Стаття