План-конспект урока алгебры в 9 классе по теме "Решение неравенств методом интервалов"
Тема урока: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.
«Если сразу нет успеха, то пробуйте еще и еще» (И.Хиксон). 1. Цели урока:
• усвоение знаний в их системе; • формирование умений и навыков самостоятельно применять полученные знания, осуществлять их перенос в новые условия; • развитие умения сравнивать, анализировать и обобщать; • формирование научного мировоззрения.
2. Задачи урока:
• образовательная: закрепление, систематизация и обобщение знаний, контроль за усвоением знаний, умений и навыков; • воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету путем дружеского соперничества в командах при выполнении групповой и самостоятельной работы; • развивающая: развитие математической логики, самостоятельности, культуры математической речи, внимания и кругозора, познавательного интереса к предмету.
Тип урока: Урок–конференция фирм (закрепления, обобщения и систематизации знаний).
Оборудование: Опорные конспекты по теме, цветные карточки, регистрационные карточки, карточки с заданием и самостоятельной работой.
ХОД УРОКА:
Класс заранее делится на 4 разноуровневые группы (по 4-5 человек). Каждый участник группы выполняет определенную роль:
- директор фирмы: зачитывает задания, организовывает порядок, стимулирует к работе, подводит итоги, назначает докладчика; - секретарь: ведет записи результатов работы, сам должен быть готов докладывать; - эксперт: хорошо владеет теоретическим материалом и умеет решать практические задачи; - тайм-кипер: следит за временем, стимулирует к работе; - посредник: может высказать мнение группы, доложить о результатах.
Вступительная речь, представление фирм («Аргумент», «Интервал», «Модуль», «Радикал»), глава конференции – учитель. 3. Этап ориентации.
- Сегодня второй день работы конференции. В первый день мы разобрали алгоритм решения неравенств методом интервалов и рассмотрели простейшие примеры. Исходя из вашего опыта, как вы считаете, все ли возможные случаи неравенств мы рассмотрели? - Хотелось бы вам продолжить работу в этой области? - Как бы вы назвали тему второго дня нашей конференции? (Решение неравенств методом интервалов)
4. Этап целеполагания.
- По вашему мнению, какое место в курсе алгебры занимают неравенства? При изучении каких тем курса они нам встречаются? (Приближенные вычисления, исследование функций, равносильные преобразования, понятие о числе). - А реально как вам может пригодиться умение решать неравенства? (Развивается логичность мышления, появляется умение решать задачи из жизни) - Кроме этого хочу сказать, что эти знания и умения обязательно пригодятся вам в 10–11 классах при решении показательных, логарифмических, иррациональных неравенств, их применения в геометрии, физике, информатике.
5. Этап проектирования.
- У вас на столах ориентировочный план работы сегодняшнего дня конференции, просмотрите, кто желает внести коррективы, пожалуйста.
ПЛАН: 1. Регистрация участников: а) проверка домашнего задания (технология «Утраченная информация»); б) ответы на вопросы теста. 2. Рассмотрение проблемных вопросов по теме (технология «Обучая – учусь»). 3. Решение неравенств в фирмах (технология «Круг идей»). 4. Подведение итогов работы конференции. 5. Домашнее задание. 6. Самостоятельная работа.
- А теперь вместе постараемся определить цели и задачи нашей работы. (Научиться решать различные типы неравенств методом интервалов; расширить математический кругозор; учиться работать самостоятельно и в группе; проконтролировать уровень усвоения темы) - У себя на столах вы можете найти вспомогательные материалы для работы, а также инструкцию по организации работы ваших фирм на конференции.
ИНСТРУКЦИЯ:
- можно высказывать свою мысль по желанию, а потом по порядку;
- когда кто-то говорит, все слушают и не перебивают;
- сдерживаться от оценивания и резких высказываний в адрес участников группы;
- стараться прийти к общему мнению, если в группе имеется особое мнение, то и оно имеет право на существование.
- Как говорил великий полководец Александр Суворов: «Скорость нужна, но торопливость – вредна». Работайте оперативно, но с умом. Успеха вам!
6. Этап организации выполнения плана деятельности.
- Итак, начнем реализацию нашего плана работы: необходимо провести регистрацию участников и ознакомить их с проблемными вопросами, решением которых занимаются работники каждой фирмы. - Приготовьте свои регистрационные карточки.
Актуализация опорных знаний:
І часть регистрации – проверка домашнего задания. - По результатам выполнения домашнего задания заполните таблицы в ваших регистрационных карточках.
Технология «Утраченная информация»
условие ответ
(х + 9)(х – 2)(х – 15) < 0 Х Є
х (х – 5)(х + 6) > 0 Х Є
(х – 1)(х – 4)(х – 8)(х – 16) < 0 Х Є
5(х – 13)(х + 24) < 0 Х Є
– (х + 12)(х – 3) > 0 Х Є
у = √ (х + 12)(х – 1)(х – 9) D(y) =
ІІ часть регистрации – ответы на вопросы теста.
І вариант
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х2 + 6х + 9 имеет вид:
а) (х + 2)(х – 3); б) (х + 3)2; в) (х – 3)2.
2) Корнями уравнения (х – 2)(х + 10) = 0, являются:
а) 2 и 10; б) 2 и – 10; в) – 2 и 10.
3) Пользуясь правилом чередования знаков, указать множество решений неравенства (х + 1)(х – 6) < 0 ( см. рис.):
_________________________________+
– 1 6
а) (- ∞; - 1); б) (- 1; 6); в) (- ∞; 6).
4) Решением неравенства (х + 1)(х – 1) ≥ 0, является:
а) (– ∞; –1]; б) (– ∞; - 1] v [ 1; + ∞); в) [–1; 1].
5) Изобразить на координатной прямой корни уравнения (х + 2)(х – 7) = 0 и, используя правило чередования знаков, указать множество решений неравенства (х + 2)(х – 7) > 0
а) ( - 2; 7); б) (– ∞; - 2) v (7; + ∞); в) (– ∞; - 7] v [2; + ∞)
6) Областью определения функции у = (5х – 1)/3 является промежуток:
а) (- ∞; 0); б) (- ∞; + ∞); в) (0; + ∞).
7) Областью определения функции у = (2х – 1)/х является промежуток:
а) (- ∞; 0); б) (- ∞; 0) (0; + ∞); в) (0; + ∞).
ІІ вариант
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х2 – 8х + 16 имеет вид:
а) (х + 2)(х – 8); б) (х + 4)2; в) (х – 4)2.
2) Конями уравнения (х + 2)(х – 5) = 0, являются:
а) 2 и 5; б) 2 и – 5; в) – 2 и 5.
3) Пользуясь правилом чередования знаков, указать множество решений неравенства (х + 7)(х + 2) < 0 ( см. рис.):
________________________________+
– 7 – 2
а) (- ∞; - 7); б) (- 2; + ∞); в) (- 7; - 2).
4) Решением неравенства (х + 5)(х – 3) ≥ 0, является:
а) (– ∞; – 5]; б) [–5; 3]; в) (– ∞; - 5] v [3; + ∞).
5) Изобразить на координатной прямой корни уравнения (х – 4)(х – 11) = 0 и, используя правило чередования знаков, указать множество решений неравенства (х – 4)(х – 11) > 0:
а) (4; 11); б) [11; + ∞); в) ( - ∞; 4) v (11; + ∞).
6) Областью определения функции у = (4х+5)/7 является промежуток:
а) (- ∞; 0); б) (0; + ∞); в) (- ∞; + ∞).
7) Областью определения функции у = (2х + 1)/(х+3) является промежуток:
а) (- ∞; 3); б) (- 3; + ∞); в) (- ∞; - 3) v (- 3; + ∞).
Ответы: І вариант все б); ІІ вариант все в).
Собираются регистрационные карточки. Эксперты проверяют их, производят оценивание: за каждый правильный ответ в домашнем задании по 0,5 балла,
за вопросы теста по 1 баллу (всего 10 баллов). - Итак, уважаемые участники конференции, вы прошли регистрацию и, считаю, готовы ответить на неожиданные и сложные вопросы.
Коллективная работа:
Во время проведения регистрации директора фирм у доски готовят для рассмотрения примеры решения неравенств методом интервалов.
Технология «Обучая – учусь»
1. Неравенство, представленное в виде произведения нескольких множителей, содержит числовой коэффициент при переменной х, отличный от единицы. (х – 2)(3х – 9)(х + 4)( 7 – х) ≤ 0
решение: Во 2-м множителе выносим 3 за скобку, а 4-й умножаем на – 1. –3(х + 4)(х – 2)(х – 3)(х – 7) ≤ 0 Делим обе части неравенства на – 3, при этом меняем знак неравенства на противоположный.
(х + 4)(х – 2)(х – 3)(х – 7) ≥ 0
Находим нули функции.
х1 = - 4 х2 = 2 х3 = 3 х4 = 7
Отмечаем их на числовой прямой. Точки заштрихованные, т.к. неравенство нестрогое.
+ – + – +
– 4 2 3 7
Ответ: х Є (- ∞; - 4] v [2; 3] v [ 7; + ∞). Вопрос: – Можно разделить обе части неравенства на переменную, если вынести ее за скобку? Ответ: – Нет, т.к. если значение х < 0, то знак неравенства нужно менять на противоположный, если х = 0, то деление невозможно, а утверждать, что х может быть только положительным числом мы не можем.
2. Неравенство, представленное в виде произведения нескольких множителей, содержит множитель, который заведомо положительный. (х + 5)(х2 + 1)(х2 – 4) < 0
решение:
(х2 + 1) > 0, при любом значении х, этот множитель не влияет на знак неравенства. (х + 5)(х + 2)(х – 2) < 0 Находим нули функции. х1 = - 5 х2 = - 2 х3 = 2 Отмечаем их на числовой прямой. Точки «выколотые», т.к. неравенство строгое.
– + – +
– 5 – 2 2
Ответ: х Є (- ∞; - 5) v (- 2; 2). Вопрос: – Если множитель равен х2 , его тоже можно игнорировать? Ответ: – В этом случае его нельзя игнорировать, и необходимо использовать при решении метод «лепестков».
3. Дробно-рациональное неравенство. (х2 + 8х + 7)/(х(х – 1)) < 0
решение: Разложим на множители числитель.
(х + 7)(х + 1)/(х(х – 1)) < 0
Находим нули функции (числитель) и точки, в которых функция не существует (знаменатель).
х1 = - 7 х2 = - 1 < 0 х3 = 0 х4 = 1
Отмечаем их на числовой прямой. Точки «выколотые», т.к. неравенство строгое.
+ – + – +
– 7 – 1 0 1
Ответ: х Є (- 7; - 1) v (0; 1). Вопрос: – Если неравенство нестрогое, решение будет аналогичным? Ответ: – Первый шаг – да. А далее нужно учитывать, что дробь равна нулю, только когда числитель равен нулю, поэтому нули числителя будут заштрихованными, а знаменателя – нет. Рекомендую сначала отметить нули числителя, а потом знаменателя, чтобы не ошибиться.
4. Неравенство, представленное в виде произведения множителей, каждый из которых может быть в нечетной или в четной степени (метод «лепестков»). (х + 2)3(х – 1)(х – 3)2(х – 6) < 0
решение:
Находим нули функции. х1 = - 2 х2 = 1 х3 = 3 х4 = 6 Отмечаем на числовой прямой. Точки «выколотые», т.к. неравенство строгое. Если множитель в нечетной степени, то знакочередование на промежутках сохраняется, а если в четной, - то в окрестности этого нуля функции знак не меняется. Можно использовать метод «лепестков»: рисуем в этой точке «лепесток» и ставим в нем знак, как при знакочередовании, затем «лепесток» «отрываем» и записываем ответ.
– + – + – +
– 2 1 3 6
Ответ: х Є (- ∞; - 2) v (1; 3) v ( 3; 6). Вопрос: – В случае нестрогого неравенства как изменится запись данного числового промежутка? Ответ: х Є (- ∞; - 2] v [1; 6].
Все вышеизложенное записывается в тетрадь.
Технология «Круг идей» После выступления директоров, каждая фирма получает закрытый конверт с заданием, аналогичным одному из рассмотренных примеров и коллективно каждая фирма решает поставленную задачу, затем в виде отчета эксперт записывает решение на доске и объясняет его.
Задания: 1) (х + 7)(х + 2)(4 – х)(2х – 10) ≥ 0. ( x Є [-7; -2] v [4; 5] ) 2) (х + 2)(х2 – 9)(х2 + 4) < 0. (х Є (- ∞; -3) v (-2; 3) ) 3) (х2 + 4х – 5)/((х+7)(х + 3)) ≥ 0 (х Є (- ∞; -7) v [-5; -3) v [1; + ∞) ) 4) (х + 4)(х + 1)2(х – 1)3(х – 8) ≥ 0 (х Є [- 4; 1] v [8; + ∞) )
7. Контрольно-оценочный этап.
- Перед выполнением самостоятельной работы давайте подведем некоторые итоги. Над какой темой мы сегодня работали? - Чему научились? - Достигли целей урока? - Каким образом можно оценить успехи каждого? - Есть необходимость еще проработать эту тему?
Домашнее задание:
Обменяться вариантами самостоятельной работы.
Самостоятельная работа:
Начальный уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х + 1)(х – 2) > 0 1 б 2) х2 – 3х + 2 ≤ 0 1,5 б 3) (х – 4)/(х + 5) < 0 1,5 б
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х + 2)(х – 3) > 0 1 б 2) х2 – 3х – 4 ≤ 0 1,5 б 3) (х – 5)/(х +6) < 0 1,5 б
Средний уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) х2 – 7х + 12 ≤ 0 1 б 2) (х + 10)(х – 4) < 0 1 б 3) 2х (8 + х)(х – 12) > 0 1,5 б 4) (х + 2)(7 – х)(х – 13) 1,5 б 5) (х + 5)/(х - 6) >0 1 б
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) х2 – 6х + 5 < 0 1 б 2) (х + 9)(х – 2) < 0 1 б 3) 4х (5 + х)(х – 8) > 0 1,5 б 4) (х + 9)(6 – х)(х – 10) ≤ 0 1,5 б 5) (х – 4)/(х + 7) > 0 1 б
Достаточный уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0 2 б 2) (х + 3)2(х + 1)(х – 2) ≤ 0 2 б 3) (16 – х2)(3х2 + 1) > 0 2 б 4) (6 – 3х)/(х + 4) ≥ 0 3 б
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х + 1)(х – 9)/(х - 1) ≤ 0 2 б 2) (х + 2)(х – 1)(х – 3)2 ≤ 0 2 б 3) (25 – х2)(5х2 + 2) ≤ 0 2 б 4) (х + 4)/(10 - 2х) ≤ 0 3 б Высокий уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х4 – 16х2)( - х2 – 5) ≤ 0 3 б 2) (– х2 + 8х – 7)/(х2 + х – 2) > 0 3 б 3) х3 – 5х2 + 6х ≥ 0 3 б 4) (х – 2)(х + 2)2(х + 3)/(х - 1) ≤ 0 3 б
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов 1) (х4 – 25х2)( - х2 – 7) ≥ 0 3 б 2) (– х2 + 4х + 3)/( х2 – х – 2) < 0 3 б 3) х3 – 6х2 + 5х ≤ 0 3 б 4) (х – 3)(х + 3)2(х + 4)/(х - 2) ≥ 0 3 б
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть – 0, т.е. f(x) > 0 (f(x) < 0) и f(x) = (x – a)(x – b)…(x – c), где a, b, c – некоторые числа, то такие неравенства можно решают методом интервалов.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1. Найти ОДЗ функции y = f(x). 2. Найти нули функции y = f(x) (f(x)=0) 3. Нанести нули на ОДЗ. 4. Определить знаки функции f(x) в каждом интервале, на которые разбивается ОДЗ нулями функции. 5. Записать ответ.
Пример:
Решить неравенство. (х + 6)(х + 1)(х – 4) < 0. 1. ОДЗ: х Є R. 2. Нули функции: (х + 6)(х + 1)(х – 4)=0;
х1 = - 6; х2 = -1; х3 = 4.
3. Нанесем нули на ОДЗ:
– + – +
4.
-6 -1 4
5. Ответ: хЄ(-∞; -6) v (-1; 4). Если все множители функции y = f(x) вида (х – а), то есть линейные, то знаки на промежутках из ОДЗ можно чередовать справа налево с « + » на « – ».
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2). Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо решить квадратное уравнение ax2 + bx + + c = 0.
Пример:
Разложить на множители квадратный трехчлен х2 + 5х + 6 х2 + 5х + 6 = 0 х1 = -2 х2 = -3
х2 + 5х + 6 = (х + 3)(х + 2)
Чтобы решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, нужно 1. Найти дискриминант квадратного
уравнения D = b2 – 4ac.
2. Найти корни уравнения по формулам
х1,2= (-b ±√D)/2a
2х2 + 3х + 1 = 0 D = 9 – 8 = 1 х1,2 = (-3 ± 1)/4 Ответ: -0,5; -1. Если квадратное уравнение приведенное (а=1) x2 + bx + c, его корни можно найти по теореме Виета: х1 + х2 = - b; х1х2 = с. х2 + 5х + 6 = 0 х1 + х2 =5 х1х2 = 6 х1 = -2 х2 = -3 Ответ: -3; -2.
